В смысле формула Ньютона-Лейбница? Она же Стокса? Ну да, основная в
интегралах.

Я имел ввиду повышение размерности дифференциальной меры. Проще говоря о переходе в интегрировании от путей к площадям.

Вы сложно изъясняетесь для меня. Ну да. Это и есть Ньютон-Лейбниц и
доказывается сведением к Н-Л . И все Стоксы так же доказываются, сведением к одномерному случаю. А вот то что интеграл от производной внутри отрезка (разм.1) выражается через значение первообразной на концах отрезка(границе разм. 0) - простой, важный и фундаментальный в своей милой простоте факт. Так это и называется основной формулой интегрального исчисления. И правильно называется. Это вроде решения задачи Грина (ксати он давал ее как
упражнение, по-моему, на экзаменах) и весь комплексный анализ в части
интегрирования тоже таков - теорема Коши называется. Или я что-то не
так понимаю? Да собственно оттудова и решение граничных задач всяких,
Дифференциальная структура (типа уравнение) позволяет вычислить
нечто внутри (чего угодно) если изестно значение на границе (тоже в
разных смыслах). Вообще многое запутали идиотские абстрактные изложения людей, которым до читателей особо дела нету. Классики были внятней и по-человечески понятней. По-молодости я этого не осознавал.
Гармонические (в разных смыслах, сорри) это линейные функции, а субгармонические - выпуклые. Ну и далее, в том же духе. Я этими штуками не занимался никогда, но слуашая, всегда имел ввиду вырожденную ситуацию, ситуацию отрезка. Кстати, меня интересуют
(наивно, весьма), функции отвечающие операторов дифференцирования
порядка выше 2 (что там, даже в простых ситуациях, физически им
соответсвует). Почему-то порядок 4 кажется легче третьего, с мат.технической (и, слегка, философской точки зрения). И еще кажется,
что операторы дифференцирования иногда проще заменять условиями на
средние во всех точках, локально интегрировать, что ли (ну как у гармонических функций). Мне это стало интересно летом, но лень читать ученые и скучные трактаты.

Вы всё правильно понимаете =) Просто у Стокса и Грина интералы зависят от пути интегрирования. Для криволинейных интегралов просто НЛ не работает. А по сути все правильно написано.

Кстати, говорят (скорее всего правда), что Грин (тот функции которого) был законченым алкоголиком. [открывая вторую банку пива] Смотрю твою статью - ни хера не понимаю

Было такое дело, впрочем на этой стезе больше Гильберт прославился =)

По поводу статьи, не обращай слишком большого внимания на предварительную алгебру - это не твоя область, поэтому не засоряй мозги. Численная проблема проста по идее. Надо взять интеграл (28) и найти путь, который соответствует его глобальному минимуму при прочих заданных параметрах (температура, потенциал и тд). Обрати внимание, что интеграл берется вдоль траектории.

Извините, как Ревизор? Цермелло (множества, хронический, - количество
алкоголя необходимое человеку для достижения определенной широты пропорционально тангенсу этой широты. следовательно северный полюс
никогда не будет достигнут (про южный ... там как то глупо выходит))
и Карлеман, наши учителя.

/хрипя от желания выпить/ нихера себе! Вот это по-нашему =)

У меня есть такое подозрение, что с помощью Формулы Грина, или общей формулы Стокса, можно доказать вообще любое справедливое тождество и/или неравенство. Собственно, вся красота комплесного анализа, это изучение частного случая, когда векторное поле задается аналитическими функциями.

А если ещё учесть что формулы Ньютона-Лейбница, Грина, Стока, и теорема о дивиргенции - это всё частные случаи одной большой теоремы ...

Ну да - общая формула Стокса или обобщенный Ньютон-лейбниц.

Я как-то загорелся посмотреть, что будет в двумерном случае, если взять полиномиальное поле (P,Q), и замкнутую полиномиальную же (рациональную) кривую. Конкретно попробовать посчитать правую и левую часть и посмотреть, что за тождества будут получаться. Ну не то чтобы это было серьезно, но выходило как в анекдоте: что не собираешь, все автомат получается - как не пытаешься вычислять двойной интеграл, все равно идешь ровно тем путем, каким доказывается формула Грина. В общем, бросил я это дело, но не навсегда, сделал зарубку на будущее...