"х и у взаимно просты" надо определять как "хК+уК=К".
То есть, вплоть до этого момента никакие нормы не нужны, и даже единица не нужна.
А потом вдруг все разом требуется (деление с остатком, вроде, без нормы не определить?). Загадочно...

вообще-то я не алгебраист, то что я помню - это из общих мат-меховских курсов.

Даже с таким определением взаимной простоты мне непонятно, как доказать, что неприводимый элемент взаимно прост с любым другим, не делящимся на него. Точнее понятно, если мы находимся в области главных идеалов. Единственный известный мне простой способ доказать про кольцо, что оно ОГИ - это заведение нормы, деления с остатком, и алгоритм Евклида.

Насколько я смутно помню, нам Яковлев доказывал это даже в таком ключе:
Если кольцо - ОГИ, то в нем выполняется ОТА.
Самый жирный и понятный класс ОГИ - это нормированные кольца с делением с остатком.
Бывают кольца, которые ОГИ, но без деления с остатком, но это сложные извращения.

А вот про то, является ли ОГИ необходимым, а не только достаточным, условием для ОТА, я не помню.

Бывают кольца, которые ОГИ, но без деления с остатком, но это сложные извращения.
как тут уже ниже сказали, это совсем не извращения.

Ниже сказали совсем другое: что из ОТА ГИ не следует.:)

та я уж понял, что везде облажался.

> Даже с таким определением взаимной простоты мне непонятно, как доказать, что неприводимый элемент взаимно прост с любым другим, не делящимся на него.
Ага, тут и проблема.
Индукционная лемма при таком определении, если в К есть единица, доказывается в две строчки.
А вот для базы доказать, что разные простые взаимно просты, тут и нужно деление с остатком.