flaass: Дырявый чайник

Дырявый чайник
Всегда думал, что "метод чайника" - широко известный термин. А гугло показало только две ссылки на "метод чайника" - и обе в другом смысле ("чайник" из программистского жаргона), и одну на "методом чайника": фраза школьного учителя математики, вызвавшая в классе смех, потому что никто не понял ее смысла.
(Впрочем, первая же ссылка на "вскипятить чайник" оказалась правильной.)

Итак, решение "методом чайника" моей последней задачки.
Проведем диагональ в нашей замкнутой ломаной. Получим два треугольника, нарисованных на двух страничках книги (корешок вдоль диагонали). Раскроем книгу в плоскость, получим 4хугольник с равными суммами противоположных сторон. В него впишем окружность (вот здесь мы свели задачу к уже решенной). Вернем странички в прежний вид: теперь вдобавок к треугольникам мы имеем две дуги окружности. И, наконец, совсем легко понять, что через эти две дуги проходит сфера, и она и будет искомой.

А теперь задачка: найти дырку в этом чайнике. Где ошибка в решении, и как подправить идею, чтоб ошибка пропала?

(Добавить комментарий)

drw@lj
2003-11-23 01:05 (ссылка)

Плоский четырёхугольник может получиться невыпуклым. Исправить это можно так: пусть у нас получился плоский четырёхугольник ABCD, в котором угол при вершине C больше развёрнутого (в четырёхугольнике может быть не более одного такого угла). Тогда его можно заново раскрыть на плоскость относительно прямой BD так, чтобы A и С лежали в разных полуплоскостях.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	flaass@lj 2003-11-23 01:15 (ссылка)
	Я так и не смог доказать, что во второй раз обязательно получится выпуклый 4хугольник. Поэтому пришлось придумывать другой способ. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	drw@lj 2003-11-23 01:47 (ссылка)
	Да, действительно, есть некоторое затруднение. Впрочем, я ещё и случай с самопересечением забыл (хотя он роли не играет). (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

flaass@lj
2003-11-24 04:34 (ссылка)

Потом уже понял, что есть пример, когда оба 4хугольника будут невыпуклые.
Длины сторон по кругу: 2а, а+е, 2е, а+е, где а много больше е.
Стороны длин 2а и 2е перпендикулярны.
Тогда, как ни крути, выкрутится невыпуклый 4-угольник.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

drw@lj
2003-11-24 05:18 (ссылка)

Ну да, я тоже такой пример нашёл. Из него выпуклый четырёхугольник получается двумя разворотами, а я только сейчас понял, что нужно за один разворот это делать. Тогда этот способ не подходит, да.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

flaass@lj
2003-11-27 07:38 (ссылка)

Да, а спас я этот подход так:
проведем диагональ, впишем в каждый из двух треугольников по окружности. Легко видеть, что диагонали они касаются в одной точке - а, значит, касаются друг друга. Через них - сферу.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	drw@lj 2003-11-27 07:58 (ссылка)
	Пардон, почему же в одной точке? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	flaass@lj 2003-11-27 21:49 (ссылка)
	А потому, что суммы противоположных сторон равны. Легкая арифметика, можно провести и в уме. (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	drw@lj 2003-11-27 22:45 (ссылка)
	Ну вот, про условие забыл. Извините, что-то я совсем плох. (уходит, посыпая голову пеплом) (Ответить) (Уровень выше)