Куки и кэш - это временные файлы, которые браузер сохраняет в отведенном для этого месте на жестком диске. Некоторые такие файлы хранятся в течение одной сессии (до закрытия браузера), другие сохраняются в отдельный файл (обычно это файл cookie.txt). Иногда браузер начинает путаться в сохраненных в нем данных, подставляет вместо одних другие - тогда бывают глюки с авторизацией. Бывает еще, что место, отведенное браузером под хранение таких файлов, заканчивается, тогда возникает как раз такая проблема, как у helma: браузер авторизует, но не запоминает. У него просто нет возможности сохранить эти данные.
И в первом и во втором случае надо удалять именно файлы куки.
Кэш - это всякие картинки, видео и т.п. - то, что уже загружено вашим браузером, всякие оформления, чтоб каждый раз при перезагрузке страницы не грузить их заново, это ускоряет загрузку страниц. В опере этот механизм организован вообще жестко, она запоминает все намертво, и если чистить, то чистить несколько раз. Когда браузер начинает путаться в таких данных или когда под них заканчивается место для хранения, он может не загрузить стили страницы или не показать обновления на странице. В ЖЖ раньше это было очень заметно: можно было просто обновлять страницу до умопомрачения, но лишь после обновления через Ctrl+F5 (эта комбинация сбрасывает кэш конкретной страницы) появлялись новые записи.
Соответственно, алгоритм простой: если есть проблемы с авторизацией - надо чистить куки, если есть проблемы с контентом - надо чистить кэш. Причем отмазка "я вчера чистил" не прокатывает. Иногда в этом нет нужды очень долго, буквально годы, а иногда приходится это делать чуть ли не ежедневно. Зависит от браузера, интенсивности посещения интернет-страниц, количества посещенных сайтов, контента на них, места, отведенного на диске под временные файлы и т.п.
Надеюсь, понятно объяснила.

Ой, даже я поняла!!!