О той самой непостижимой
Р. Коллинз “Социология философий: Глобальная теория интеллектуального изменения” (Collins R. Sociology of philosophies: A global theory of intellectual change. – Cambridge (Mass.); London (England): Belknap Press of Harvard Univ. Press, 1998

"Математика есть социальный дискурс. Этот факт неизбежен, если мы прямо рассмотрим данность. Перед нами математический аргумент очень небольшой технической сложности:

a = bx + cy, (1)

a – bx – cy = 0. (2)

Данная последовательность суждений истинна и осмысленна для меня лишь постольку, поскольку я знаю, что означают эти символы, и знаю допустимые операции по преобразованию этих символов, такие что уравнение (1) становится уравнением (2). Символы, как и любая иная форма дискурса, предполагают коммуникацию. Приведенное скромное суждение из области математической абстракции предполагает, что у меня был контакт с сетью учителей, которые, без сомнения, на много связующих звеньев отстоят от тех, кто создал данную область математики.

Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе. Это может показаться каким-то минимальным уровнем реальности. Тем не менее не следует думать, что социальный дискурс не имеет никакого объективного, твердого качества, того типа сильного принуждения, который соответствует понятию истины . Чтобы показать, почему математический дискурс имеет это качество, мы должны исследовать отличительные характеристики математических сетей.

...Математические сети исторически связаны с математиками предшествующих эпох. Дело здесь не только в генеалогической преемственности, типичной для всех интеллектуалов, занимающихся творчеством, когда центральная сеть знаменитых творцов одного поколения порождает следующие поколения тех, кто будет делать открытия. Математики особым образом сосредоточены на своей истории, поскольку главный путь математического открытия состоит в разработке темы методами, уже использовавшимися в математике предшествующих уровней, в создании такой символической системы, которая делает явными некоторые ранее молчаливо предполагавшиеся операции, а также в изучении следствий на этом более высоком уровне абстрактного символизма.

...Математика – это самая историчная из дисциплин в том смысле, что ее главной темой являются углубление, движение вспять к тому, что считалось само собой разумеющимся в работе предшественников.

...Итак, математика социальна в двух смыслах, второй из которых еще сильнее первого: каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия. Символы и процедуры, составляющие математику, рефлексивным образом воплощают историю этой творческой сети на всем протяжении до самых ее ранних связей, а рефлексия над собственными прошлыми операциями – это само здание высшей математики.

Следует подчеркнуть другой аспект, еще более ярко показывающий, что математика насквозь социальна. Предметом математики являются операции, а не вещи. Это не та область, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире либо в каком-то ином мире за пределами этого. Вернемся к нулевому уровню математики – числам. Поскольку некое число может считаться существительным в предложении, постольку легко полагать число вещью. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении последовательности “1, 2, 3 ...”. Ответом на вопрос “сколько?” является число, на котором человек останавливается, когда завершает свое указание жестами на то, что подсчитывает. Числа изначально являются деятельностью (или операцией) перечисления.

В этом отношении числа сходны с другими символами, составляющими человеческий дискурс. Универсальность чисел происходит из их универсального использования, а вовсе не из какого-то характера объектов, для которых они используются. Перечисление – это процесс разделения и указания. Оно может быть применено к чему угодно: к материальным объектам, среди которых могут быть очевидные разделения, но также к вещам, чьи контуры расплывчаты и изменчивы (к облакам, например), либо же к таким “вещам”, которые вообще вещами не являются, но могут быть операциями, абстракциями или воображаемыми предметами. Перечисление – это операция, делающая элементы (единицы) эквивалентными друг другу через их подсчет, и они становятся единицами, поскольку к ним относятся как к таковым. Это не означает, что числа иллюзорны. Они реальны как операции, выполняемые человеческими существами, как деятельность, осуществляемая в каком-то времени и месте. Они также могут быть обобщены и перенесены из одной ситуации в другую, поскольку являются операциями, которые могут применяться вновь и вновь. Общность чисел происходит из того, что они суть операции человеческого дискурса.

Операции математики социальны начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Здесь следует применить принципы социологии мышления. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур, вы придете к тому же заключению [2]. Поскольку понятийное мышление интериоризировано из внешнего дискурса и становится осмысленным лишь потому, что предполагает внешнюю аудиторию, мой счет “про себя” – это также операция в некоторой социальной рамке. Вывод, сделанный ранее, можно в данном случае еще раз повторить: счет ведет к появлению универсалий, ибо осуществляется в некоторой универсальной позиции – позиции любого человека вообще, который следует данному соглашению, или конвенции, в дискурсе.

То, что было сказано о счете, можно сказать и о любых более абстрактных формах математики. Арифметика обобщает результаты счета: сложение дает правила сокращения операций, указывая, например, что будет при подсчитывании одной группы вещей, затем другой группы, затем при подсчете их всех и т.д. Элементарная алгебра обобщает результаты решения различных типов арифметических задач. Такова цепочка обобщения и рефлексии от одной формы математики к другой, от операций подсчета к изучению операций над операциями и к дальнейшим замысловатым ступеням абстрактной математики. На каждом своем уровне математика исследует и классифицирует операции.

...Если счет состоит в осуществлении ряда жестов, которые тем самым представляют нечто как ряд, то арифметика состоит в выполнении жестов по отношению к числовым операциям, элементарная алгебра – в выполнении жестов по отношению к арифметическим операциям, высшая алгебра – в выполнении жестов по отношению к элементарным алгебраическим операциям, рассматриваемым как эквивалентные.

Эти жесты в сообществе математиков делаются совместно. Некто становится членом такого сообщества, усваивая конвенции относительно коммуникации. Социальная структура математики имеет вид пирамиды. В основании находится огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и эзотерически мыслящих математиков – сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстрагирования и рефлексивного обобщения.

Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение. Это реальность процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и локализованной в пространстве. И это вдвойне мощная, упрямая реальность социального, – широко распространенных соглашений (конвенций) дискурса, т.е. деятельности, выполняемой сообща, которая и составляет сообщество как раз из тех людей, кто принимает эти условные (конвенциональные) операции. Можно даже сказать, что это втройне мощная реальность, поскольку сеть математиков – это то, что выросло вокруг главной деятельности по конструированию способов построения метаопераций, предметом которых являются предыдущие операции того же сообщества.

Устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Некоторые греческие философы и математики утверждали, что объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке [3]. Другие утверждали идеальность математики, используя в качестве объекта критики эмпиризм: числа – это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. В обеих линиях аргументации делается одна и та же ошибка (то же относится и к полагающим, что математика возникает на основе индукции из опыта восприятия вещей) – допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий – операций математического дискурса. Универсалии и идеалы – это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру.

...Теории о том, что математика должна быть неким трансцендентным царством платонистских объектов или по крайней мере собранием априорных истин, заключенных в тавтологиях, привлекательны, поскольку помогают объяснить ощущение того, что математика – это нечто достоверное, что ее результаты обладают такой высокой степенью неопровержимости и истинности, какую только люди могут достичь. Эту достоверность можно объяснить особым социальным характером математических сетей. Поскольку содержание математики выстроено в некую цепь во времени, постольку от самых высоких и утонченных абстракций и до обычных операций счета все это здание внутренне скреплено самым тесным образом. Дело не только в том, что результаты лениво переходят от одного поколения к другому как некая устоявшаяся традиционная парадигма, которую никто не удосуживается поставить под вопрос. Напротив, данная связность глубока и неизбежна, поскольку темы все более абстрактной математики были внутренними моделями операций предыдущего периода развития математики. В математике, в ее процедурах использования символических обозначений воплощена ее собственная история, причем в такой степени, которая не обнаруживается ни в какой иной области. Самый наивный практикующий математику приходит к тем же результатам, что и любой другой, поскольку каждый, кто учится следовать данным конвенциям, может повторить эту цепь аргументации. Математика достоверна, поскольку она надежно воспроизводима, что означает воспроизводимость в цепи социальных конвенций.

...Как возможно то, что математика столь часто оказывается применимой к естественному, нечеловеческому, несимволическому миру? Почему она стала настолько полезной в естествознании? Это будет уже не столь таинственным, как только мы осознаем всю силу того факта, что математика зарождается в социальных сетях, являющихся частью природного мира. Отличительная черта сети практикующих математику состоит в том, что они сосредоточивают свое внимание на чистых бессодержательных формах человеческих коммуникативных операций – на жестах обозначения единиц как эквивалентных и составления их них ряда, на операциях более высокого порядка, с помощью которых рефлексивно изучаются сочетания этих операций. Первичные операции – счет, измерение – берут свое начало в жестах, направленных на обычные, соразмерные человеку телесные объекты и процессы деятельности в пространственно-временной реальности. Подобная деятельность имеет такое же качество реальности, как и что-либо иное на уровне этого банального обыденного мира. Абстрактная математика, рефлексивно возникающая на основе таких операций, остается частью природного мира. Фактически это эмпирическое исследование некоторого аспекта данного природного мира, той его части, которая состоит в коммуникативной деятельности математиков по созданию новых форм оперирования своими же предыдущими операциями. Математика возникает in medias res, и в ней утверждается гладкая непрерывность от одного уровня ее собственной абстрактности к другому. Нет жесткой границы между объектами математики и миром естествознания. Применимость в науке математических процедур не долж­на восприниматься как нечто удивительное.

Высокий уровень согласия относительно объектов естествознания появляется только в сетях быстрых открытий; они же, в свою очередь, составлены из паразитирующих друг на друге генеалогий исследовательского оборудования и аргументативной сети интеллектуалов-естественников. Математизированная наука быстрых открытий добавляет сюда третью сеть – преемственную линию манипулирования формальными символами, представляющими собой классы коммуникативных операций. Математика не дарует нам какой-то магический глаз, с помощью которого мы видим объекты, трансцендентно существующие за пределами феноменальной поверхности опыта, – невидимые сущности научных теорий. Математика соединена с другими двумя сетями в том же самом феноменальном мире опыта.

С одной стороны, измерения, проводимые с помощью исследовательского оборудования превращаются в математические реальности, поскольку люди используют последние в качестве маркеров – в том же смысле, что элементарная математическая операция счета есть социальная процедура указания жестом на единицы опыта (тем самым установленные в качестве эквивалентных друг другу). Как сказал бы Сёрль [Searle, 1992], в исследовательском оборудовании нет гомункулуса. Именно люди-математики – вот кто использует это оборудование как средство расширения их собственной способности делать жесты. Это жесты, одновременно обращенные и к нечеловеческому миру, и к социальному сообществу, которое выстроило некий репертуар надежных методов превращения одного набора символических жестов в иной.

С другой стороны, генеалогия математических техник соединена с сетью интеллектуалов-естественников, в которой создаются осмысленные предметы и аргументы, составляющие знакомое людям содержание естествознания. Генеалогии оборудования производят явления в мире опыта, а интеллектуалы-естественники превращают эти явления в интерпретации, полезные для ведения аргументации и привлечения сети к исследованию дальнейших тем. “Невидимый” мир сущностей науки порождается интеллектуалами, а не непосредственно оборудованием. Математическая техника становится значимой для ученых-естественников, поскольку позволяет им придавать особенно устойчивый характер по крайней мере части их аргументации. Но данная часть аргументации является именно той устойчивой и упрямой реальностью определенных сетей рефлексивных коммуникативных операций, которая и стала ранее для математиков предметом их исследовательской деятельности. Кристаллически жесткая социальная реальность математиков образует как бы хребет аргументации научных коалиций, [которую они ведут в своих социальных переговорах].

Математика – это мост: ее общность с сетью естествознания состоит в том, что она также имеет характер социального бытия, ее общность с генеалогиями оборудования – в том, что она также является преемственной линией развития техник. Поскольку линия математической техники – это линия преемственности открытий, касающихся процессов пространственно-временной реальности (т.е. математических операций), постольку она прекрасно совмещается с порождаемыми при помощи оборудования феноменами, являющимися такими многомерными процессами, формы которых не могут быть интерпретированы на низких уровнях абстракции и рефлексии, характерных для обычной грамматики типа “существительное – прилагательное – глагол” или для обыкновенной арифметики. (Вот почему изучение высшей алгебры – квартернионов, векторов, матриц – было столь плодотворным для развития современной физики.) Здесь мы вновь обнаруживаем социальную реальность математики, которая соединяется без каких-либо видимых швов с нечеловеческой природной действительностью феноменов, порождаемых с помощью оборудования.

Главной социальной сетью в науке остается сеть людей-интеллектуалов. Наука, если быть последовательными, имеет своим конечным результатом слова и образы. Чисто математический замысел, такой как, например, теория струн, не обретает полную, социально принятую “реальность”, пока не появится словесная интерпретация его основных моментов, переводящая их в знакомые, обозначаемые существительными “предметы”, или “сущности”, в обыденном языке считающиеся высшей реальностью. Однако здесь мы должны отметить, что математика также укоренена в словах [7]. Это напоминание о том, что “математика” является двумя сетями в одной сети – генеалогией техник и человеческой сетью, причем последняя, с одной стороны, умеет работать с данными техниками, а с другой стороны, вовлечена в обычный интеллектуальный контекст постановки аргументов и контраргументов. Вербальный дискурс – это наиболее надежный каркас, основное вместилище интеллектуальной жизни. Если математика действительно является важным мостом между человеческими и нечеловеческими сетями, составляющими науку, то это происходит потому, что сами математики суть гибриды, имеющие все человеческие черты начиная от словесного дискурса и кончая своими собственными специальными формами освобожденной от содержания рефлексивности.

Математика одновременно эмпирична и концептуальна. Она охватывает опытные наблюдения во времени и пространстве, причем данный опыт всегда конкретен и ситуационно локализован. При этом математика имеет дело с универсальным и общим, с теми моделями, которые действительно неопровержимым образом обнаруживаются среди универсальных понятий, поскольку темой математики является чистая общность человеческих коммуникативных операций. Таковы действия, устанавливающие эквивалентность между вещами и надстраивающие их друг над другом. Данная тема универсальна, поскольку включает операции полагания вещей как универсалий. Одновременно эта тема является эмпирической, возникающей в опыте и применяемой к опыту, поскольку делать математику – значит совершать деятельность во времени и в некоторой социальной сети. Универсальные черты математики обнаруживаются эмпирически через труд математиков, изучающих различные системы операций. Тема математики – это система коммуникативных соглашений (конвенций) между математиками. То, что они открывают в данной сфере, является объективной, упрямой реальностью. Если мы говорим, что она социально конструируется, то это эмпирическое изучение устойчивых и упрямых качеств социальной конструкции. Математическая реальность столь реальна именно потому, что она целиком социально сконструирована. <…>"