к которым несчетность никаким боком
Для решения проблем типа парадокса Рассела ограничили возможность задавать множества заданием подмножеств уже "имеющихся" множеств. Сама по себе регулярность не разрешает парадокса Рассела: .

Аксиома же регулярности понадобилась для удобной борьбы со всякими монстрами. См., например, что Коэн о ней писал в своей книге: "… упрощает наше определение порядкового числа…"— и т.п. Про фундированные множества тоже…