Прямые-обратные образы (ко)пучков и ковариантная двойственность Серра-Гротендика
Пусть X -- локально нетерова схема. Тогда (насколько я понимаю) выбор дуализирующего комплекса D_X на X индуцирует (ковариантную) эквивалентность между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков локально кокручения на X.

Пусть f: X → Y -- квазикомпактный квазиотделимый морфизм локально нетеровых схем. Тогда (насколько я понимаю), пользуясь инъективными резольвентами пучков и проективными резольвентами копучков, можно определить производные функторы прямого образа Rf_* и Lf_!, действующие между копроизводными категориями квазикогерентных пучков и контрапроизводными категориями контрагерентных копучков локально кокручения, соответственно.

Гипотеза.
1) Функтор Rf_* имеет правый сопряженный функтор f^! (эту часть на самом деле нетрудно доказать, пользуясь соображениями компактности и представимостью Брауна).
2) Функтор Lf_! имеет левый сопряженный функтор f* (эту часть, вероятно, можно доказать, пользуясь ковариантной представимостью Брауна).
3) Если морфизм f собственный, D_X -- дуализирующий комплекс на X и D_Y = f^!D_X -- дуализирующий комплекс на Y, то эквивалентности экзотических производных категорий из первого абзаца, связанные с дуализирующими комплексами D_X и D_Y, преобразуют пучковый функтор f^! в копучковый функтор f*.

Кажется, я умею доказывать все три утверждения в случае, когда f -- конечный морфизм. Тогда функторы f^! и f* явно строятся как некие производные функторы от неточных/частично определенных функторов между абелевыми/точными категориями, и коммутативность диаграммы явно проверяется.