В чем разница между алгеброй и алгебраической геометрией?
Один из (очевидно, очень многих) ответов на этот вопрос подчеркивает роль относительных ситуаций и относительных понятий.

В алгебраической геометрии очень принято рассматривать морфизмы алгебраических многообразий или схем как основной объект изучения. Ощутимая доля основ алгебраической геометрии -- это изучение разнообразных классов морфизмов схем. Плоские морфизмы, гладкие морфизмы, отделимые морфизмы, собственные морфизмы, аффинные морфизмы, проективные морфизмы, квазикомпактные и квазиотделимые морфизмы, конечные морфизмы, морфизмы конечного типа и конечной представимости, квазиконечные морфизмы...

В алгебре этот акцент на относительной точке зрения гораздо менее выражен, а точнее, вообще не просматривается. Особенно за пределами той части коммутативной алгебры, которая испытала сильное влияние коэволюции с алгебраической геометрией. Можно сказать, что до чистых алгебраистов волна нововведений Гротендика в этом смысле так и не докатилась.

Скажем, совершенные кольца -- одно из важнейших понятий современной теории колец. Некоторое определение совершенного гомоморфизма колец появилось в моем препринте месячной с небольшим давности, июля 2025 года. До сих пор со мной никто не связался и не сообщил мне ничего о предшествующих работах в этом направлении (мне их найти тоже не удалось). Лето пройдет, начнется семестр, и я еще поспрашиваю людей -- но пока что дело выглядит так, что никому до июля 2025 года не приходило в голову определить относительную версию понятия совершенного кольца.

То же самое я много лет наблюдаю с другими относительными понятиями в теории колец и модулей. Есть классическая относительная гомологическая алгебра, но она всегда производила на меня впечатление изолированного сюжета, недопродуманного и не получившего развития.

Я бы подошел к делу так. Скажем, у вас есть гомоморфизм колец R → S. Немедленно начинается: можно рассматривать S-модули, плоские над R, проективные над R, инъективные над R (являющиеся модулями кокручения над R, и т.д.) Я немало писал об этом, и мне показалось, что более-менее никто, кроме меня, об этом не пишет.

Прага -- крупный центр современной теории колец, модулей и категорий, но алгебраическая геометрия здесь представлена меньше. Когда-то давно, году в 2015 я с удивлением обнаружил, что относительную точку зрения пражские алгебраисты не находят привлекательной. Впоследствии это впечатление неоднократно подтверждалось. Недавно я решил, что в этом разница между точками зрения алгебраистов и алгебраических геометров.

Сам я занимаюсь очень алгебраической алгебраической геометрией. В той форме, в которой я ей занимаюсь, относительные понятия в теории колец для моих целей очень важны, и постоянно всплывают все новые определения и новые задачки на эту тему. В моих работах последних лет (или их архивных обновлениях последних лет) можно найти определения "которсинъективных модулей", "флапроективных модулей" и прочие относительные/смешанные версии классических понятий теории модулей над кольцами, возникающие в контексте гомоморфизма колец.

Вот и сейчас я уперся в очередную задачку про флапроективные модули, явно чересчур алгебраическую для алгебраических геометров и, думаю, слишком относительную для алгебраистов. Среди людей, писавших фундаментальные работы на эту тему, есть даже один знаменитый автор-алгебраический геометр по образованию и самоопределению, тоже пишущий работы по очень алгебраической алгебраической геометрии. Но его подход сильно отличается от моего, и перспектива, что его заинтересуют флапроективные модули, не просматривается.

Попробую сам подумать про свою задачку. Без нее не доказывается моя теорема про беккеровские полуконтрапроизводные категории в том виде, в котором я хотел ее доказать...