|
|
Пишет Лёня Посицельский (![[info]](http://lj.rossia.org/img/syndicated.gif){kind=small} lj_posic)@ 2013-03-04 00:40:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Задача Барра-Бека для точной категории контрамодулей кокручения
Известны следующие утверждения, являющиеся частным случаем теоремы Барра-Бека для консервативных точных функторов между абелевыми категориями:
Теорема 1. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским правым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский правый A-модуль. Тогда абелевы категории левых комодулей над кокольцами C над A и B⊗AC⊗AB над B эквивалентны; функтор тензорного умножения на B над A задает эту эквивалентность.
Теорема 2. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго проективный левый A-модуль (в смысле, проективную образующую категории левых A-модулей). Тогда абелевы категории левых контрамодулей над кокольцами C над A и B⊗AC⊗AB над B эквивалентны; функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность.
Хотелось бы доказать следующий вариант:
Теорема 3. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский левый A-модуль. Тогда контрапроизводные категории точных категорий левых контрамодулей A-кокручения над кокольцом C над A и левых контрамодулей B-кокручения над кокольцом B⊗AC⊗AB над B эквивалентны. Функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность; в частности, как функтор между точными категориями контрамодулей кокручения он является вполне строгим.
Идея предполагаемого доказательства теоремы 3: понятно, что обычную теорему Барра-Бека здесь не применишь, но можно рассуждать так. В первых двух перечисленных случаях, обсуждаемый функтор "замены кольца" имеет сопряженный функтор "замены кокольца" (определенный в большей общности произвольного морфизма коколец, согласованного с морфизмом из базовых колец).
В третьем случае, хотелось бы иметь частично определенный сопряженный функтор на точных категориях контрамодулей кокручения, индуцирующий всюду определенный сопряженный функтор на триангулированных категориях. Для этого нам понадобится техническая теорема о резольвентах, про которую будет следующий постинг.
Известны следующие утверждения, являющиеся частным случаем теоремы Барра-Бека для консервативных точных функторов между абелевыми категориями:
Теорема 1. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским правым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский правый A-модуль. Тогда абелевы категории левых комодулей над кокольцами C над A и B⊗AC⊗AB над B эквивалентны; функтор тензорного умножения на B над A задает эту эквивалентность.
Теорема 2. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго проективный левый A-модуль (в смысле, проективную образующую категории левых A-модулей). Тогда абелевы категории левых контрамодулей над кокольцами C над A и B⊗AC⊗AB над B эквивалентны; функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность.
Хотелось бы доказать следующий вариант:
Теорема 3. Пусть C -- кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся плоским левым A-модулем. Пусть A → B -- гомоморфизм ассоциативных колец, превращающий B в строго плоский левый A-модуль. Тогда контрапроизводные категории точных категорий левых контрамодулей A-кокручения над кокольцом C над A и левых контрамодулей B-кокручения над кокольцом B⊗AC⊗AB над B эквивалентны. Функтор Hom из B над A задает эту эквивалентность; в частности, как функтор между точными категориями контрамодулей кокручения он является вполне строгим.
Идея предполагаемого доказательства теоремы 3: понятно, что обычную теорему Барра-Бека здесь не применишь, но можно рассуждать так. В первых двух перечисленных случаях, обсуждаемый функтор "замены кольца" имеет сопряженный функтор "замены кокольца" (определенный в большей общности произвольного морфизма коколец, согласованного с морфизмом из базовых колец).
В третьем случае, хотелось бы иметь частично определенный сопряженный функтор на точных категориях контрамодулей кокручения, индуцирующий всюду определенный сопряженный функтор на триангулированных категориях. Для этого нам понадобится техническая теорема о резольвентах, про которую будет следующий постинг.
