Контрамодули над некоммутативными нетеровыми кольцами - 3
Пусть K -- коммутативное кольцо, I ⊂ K -- конечно порожденный идеал, A и B -- ассоциативные K-алгебры. Для любого K-модуля L, будем обозначать через L(I) подмодуль элементов, аннулируемых I.

Лемма 1. а) Для любого левого A-модуля M и инъективного левого A-модуля J имеется естественный изоморфизм K/I-модулей Hom_A(M,J)/I Hom_A(M,J) = Hom_A/IA(M(I), J(I)).
б) Для любого правого B-модуля N и плоского левого B-модуля F имеется естественный изоморфизм K/I-модулей (N⊗_BF)(I) = N(I) ⊗_B/IB F/IF.

Доказательство: для любого конечно представимого K-модуля E имеются естественные изоморфизмы Hom_A(Hom_K(E,M),J) = E ⊗ _K Hom_A(M,J) и Hom_K(E, N⊗_BF) = Hom_K(E,N) ⊗_B F. Остается подставить E = A/I.

Пусть D -- конечный комплекс A-инъективных и B-инъективных A-B-бикомодулей над K. Предположим, что кольцо A когерентно слева, а B -- справа. Мы пользуемся определением дуализирующего комплекса для пары некоммутативных колец из раздела B.4 препринта 1209.2995v3.

Лемма 2. а) Если D -- дуализирующий комплекс для пары колец (A,B), то D(I) -- дуализирующий комплекс для пары колец (A/IA, B/IB).
б) Допустим, что идеал I ⊂ K нильпотентен, кольцо A нетерово слева, а B -- справа. Тогда если D(I) -- дуализирующий комплекс для пары колец (A/IA, B/IB), то D -- дуализирующий комплекс для пары колец (A,B).

Доказательство. Пункт а): ясно, что D(I) -- комплекс инъективных A- и B-модулей. Отображение гомотетии B → Hom_A(D,D) является квазиизоморфизмом конечных комплексов плоских левых B-модулей, и следовательно, остается квазиизоморфизмом после тензорного умножения справа над B на B/IB, т.е., приведения по модулю I. Теперь можно использовать лемму 1а).

Ограниченный сверху комплекс левых модулей над когерентным слева кольцом квазиизоморфен ограниченному сверху комплексу конечно порожденных проективных модулей тогда и только тогда, когда его модули когомологий конечно представимы. Чтобы показать, что A/IA-модули когомологий комплекса D(I) конечно представимы, заметим, что D(I) квазиизоморфен комплексу Hom_B^op из левой резольвенты правого B-модуля B/IB, составленной из конечно порожденных проективных правых B-модулей, в комплекс D. Такой комплекс Hom локально по когомологической градуировке является конечно-итерированным конусом морфизмов между сдвигами копий комплекса D, и следовательно, имеет конечно представимые A-модули когомологий. Остается отметить, что A/IA-модуль конечно представим тогда и только тогда, когда он конечно представим как A-модуль.

Пункт б): если идеал I нильпотентен, то морфизм конечных комплексов плоских B-модулей является квазиизоморфизмом тогда и только тогда, когда он становится таковым после тензорного умножения на B/IB. Чтобы проверить конечную представимость A-модулей когомологий комплекса D, можно рассмотреть спектральную последовательность, сходящуюся от подмодулей, аннулируемых I в этих когомологиях, к когомологиям комплекса D(I) (существующую ввиду предыдущего абзаца), и дальше рассуждать как в доказательстве леммы С.1.3 из 1209.2995v3, пользуясь тем фактом, что A-модуль M конечно порожден, если конечно порожден A/I-модуль M(I).