Еще об очень плоских морфизмах
В предыдущей серии постингов было показано, что некоторые морфизмы алгебраических многообразий являются очень плоскими. Цель этого постинга, навеянного комментом http://posic.livejournal.com/780534.html?thread=4384502#t4384502 -- показать, что очень плоские морфизмы схем обладают некоторыми хорошими свойствами, которыми не обладают, вообще говоря, произвольные плоские морфизмы.

Начнем со следующего простейшего контрпримера плоского, но не очень плоского морфизма нетеровых схем.

Пример. Морфизм схем Spec Q → Spec Z не является очень плоским.

Доказательство: речь идет о том, что Z-модуль Q не является очень плоским. В самом деле, представим себе, что группа Q является прямым слагаемым, или даже просто подгруппой, трансфинитно итерированного расширения A = ∪_α A_α абелевых групп вида Z[n⁻¹], где n пробегает натуральные числа. Рассмотрим самое меньшее α, для которого A_α пересекается с Q внутри A. Пусть B обозначает это пересечение; тогда B является ненулевой подгруппой в Q, являющейся одновременно подгруппой группы вида Z[n⁻¹]. При этом факторгруппа Q/B, будучи подгруппой в A/A_α, не содержит кручения. Но в этом случае ненулевые элементы B не могут быть бесконечно делимы в Q на простые числа, не входящие в n. Противоречие.

Таким образом, классы плоских и очень плоских модулей (а соответственно, и классы контраприспособленных модулей и модулей кокручения) не совпадают уже в случае модулей над кольцом целых чисел. Ответ на вопрос, которым заканчивается заглавный постинг по ссылке, отрицательный.

Следующее утверждение можно найти в книжке Хартсхорна "Алгебраическая геометрия" (упражнение III.9.1) [Upd.: вот ссылка на более общее утверждение, EGA IV₂ Thm 2.4.6 -- http://mathoverflow.net/questions/126745/are-the-projection-morphisms-from-a-product-of-varieties-necessarily-open ]:

- всякий плоский морфизм конечного типа между нетеровыми схемами является открытым отображением.

Доказательство основано на комбинации утверждений, что образ морфизма конечного типа между нетеровыми схемами является конструктивным подмножеством (упражнение II.3.19) и что образ плоского морфизма схем является подмножеством, стабильным относительно генерализации.

Последнее выводится из следующей леммы о модулях над коммутативным кольцом. Носителем модуля M над кольцом R называется множество всех точек p ∈ Spec R, для которых тензорное произведение k_p ⊗_R M не равно нулю, где k_p обозначает поле вычетов схемы Spec R в точке p.

Лемма. Носитель плоского модуля над коммутативным кольцом R является подмножеством Spec R, стабильным относительно генерализации.

Доказательство: по существу, речь идет о том, что плоский модуль F над целостным локальным кольцом S с полем вычетов k и полем частных K, имеющий ненулевую редукцию k⊗_SF, имеет также ненулевой модуль частных K⊗_SF. В самом деле, модуль F ненулевой, и отображение F = S⊗_SF → K⊗_SF инъективно, поскольку инъективно отображение S → K.

Нашей целью является доказательство следующего общего утверждения.

Теорема 1. Всякий очень плоский морфизм схем является открытым отображением. (Никаких условий нетеровости или конечного типа не нужно; ср. с гипотезой из постинга от 2 апреля.)

Сформулированный результат очевидным образом вытекает из соответствующего утверждения о модулях над кольцами.

Теорема 2. Носитель очень плоского модуля над коммутативным кольцом R является открытым подмножеством в Spec R.

Доказательство будет дано в следующем постинге.