Нечетный Гольдбах и слабая форма простых-близнецов
недавно доказаны, как утверждается здесь -- http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved и здесь -- http://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired.html

Гольдбах доступен -- http://arxiv.org/abs/1205.5252 , http://arxiv.org/abs/1305.2897 ; где можно видеть черезсемидесятимиллионных близнецов, неясно.

Update:
http://mathoverflow.net/questions/131185/philosophy-behind-yitang-zhangs-work-on-the-twin-primes-conjecture
https://simonsfoundation.org/features/science-news/unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/

UUpdate:
http://www.slate.com/articles/health_and_science/do_the_math/2013/05/yitang_zhang_twin_primes_conjecture_a_huge_discovery_about_prime_numbers.single.html