|
|
Пишет Лёня Посицельский (![[info]](http://lj.rossia.org/img/syndicated.gif){kind=small} lj_posic)@ 2014-01-17 18:10:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Лемма Накаямы
Пусть T -- ассоциативное кольцо без единицы, такое что для любых элементов t и a ∈ T найдется элемент b ∈ T, удовлетворяющий уравнению a = b − bt. Пусть M -- конечно-порожденный левый T-модуль. Тогда если TM = M, то M = 0.
Доказательство: пусть mi -- минимальное по включению конечное множество образующих M. По определению, это означает, что M = ∑i Zmi + ∑i Tmi, откуда, в наших предположениях, M = TM = ∑i Tmi. Покажем от противного, что множество индексов {i} пусто.
Пусть m0 -- одна из наших образующих; тогда m0 = ∑i timi для некоторых ti ∈ T. Перепишем это равенство в виде m0 − t0m0 = ∑j tjmj (суммирование по j ≠ 0). Согласно условию, для любого a ∈ T найдется b ∈ T, такой что a = b − bt0. Теперь am0 = bm0 − bt0m0 = ∑j btjmj, откуда Tm0 ⊂ ∑j Tmj и M = ∑j Mtj, в противоречие с минимальностью множества образующих mi.
Это называется, примерно, "лемма Накаямы для ассоциативных колец без единицы, совпадающих со своим радикалом Джекобсона, и конечно-порожденных модулей над ними". Ее аналог для контрамодулей над топологическими кольцами, имеющий место без предположения конечной порожденности, играет важную роль в соответствующей теории.
Некоторый недостаток существующей формулировки контрамодульной леммы Накаямы (см. лемму 1.3.1 в препринте Weakly curved A-infinity algebras...) состоит, однако, в том, что она скорее похожа на обычную лемму Накаямы для нильрадикалов дискретных колец, чем для их радикалов Джекобсона. Формулировка по ссылке требует, чтобы топологическое кольцо T было топологически нильпотентным, т.е. всякая окрестность нуля в T содержала TN для достаточно большого натурального N. Нельзя ли придумать вариант контрамодульной леммы Накаямы, больше похожий на вышеприведенную формулировку с радикалом Джекобсона?
Скажем, пусть T -- топологическое ассоциативное кольцо без единицы, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля (последнее условие нужно, чтобы понятие левого T-контрамодуля имело смысл). Допустим, имеется непрерывное отображение β: T × T → T, удовлетворяющее уравнению α = β(α,τ) − β(α,τ)τ для всех τ и α ∈ T. Пусть P -- левый T-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно. Следует ли отсюда, что P зануляется?
Ранее на ту же тему: http://posic.livejournal.com/191812.html , http://posic.livejournal.com/107398.html
Пусть T -- ассоциативное кольцо без единицы, такое что для любых элементов t и a ∈ T найдется элемент b ∈ T, удовлетворяющий уравнению a = b − bt. Пусть M -- конечно-порожденный левый T-модуль. Тогда если TM = M, то M = 0.
Доказательство: пусть mi -- минимальное по включению конечное множество образующих M. По определению, это означает, что M = ∑i Zmi + ∑i Tmi, откуда, в наших предположениях, M = TM = ∑i Tmi. Покажем от противного, что множество индексов {i} пусто.
Пусть m0 -- одна из наших образующих; тогда m0 = ∑i timi для некоторых ti ∈ T. Перепишем это равенство в виде m0 − t0m0 = ∑j tjmj (суммирование по j ≠ 0). Согласно условию, для любого a ∈ T найдется b ∈ T, такой что a = b − bt0. Теперь am0 = bm0 − bt0m0 = ∑j btjmj, откуда Tm0 ⊂ ∑j Tmj и M = ∑j Mtj, в противоречие с минимальностью множества образующих mi.
Это называется, примерно, "лемма Накаямы для ассоциативных колец без единицы, совпадающих со своим радикалом Джекобсона, и конечно-порожденных модулей над ними". Ее аналог для контрамодулей над топологическими кольцами, имеющий место без предположения конечной порожденности, играет важную роль в соответствующей теории.
Некоторый недостаток существующей формулировки контрамодульной леммы Накаямы (см. лемму 1.3.1 в препринте Weakly curved A-infinity algebras...) состоит, однако, в том, что она скорее похожа на обычную лемму Накаямы для нильрадикалов дискретных колец, чем для их радикалов Джекобсона. Формулировка по ссылке требует, чтобы топологическое кольцо T было топологически нильпотентным, т.е. всякая окрестность нуля в T содержала TN для достаточно большого натурального N. Нельзя ли придумать вариант контрамодульной леммы Накаямы, больше похожий на вышеприведенную формулировку с радикалом Джекобсона?
Скажем, пусть T -- топологическое ассоциативное кольцо без единицы, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля (последнее условие нужно, чтобы понятие левого T-контрамодуля имело смысл). Допустим, имеется непрерывное отображение β: T × T → T, удовлетворяющее уравнению α = β(α,τ) − β(α,τ)τ для всех τ и α ∈ T. Пусть P -- левый T-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно. Следует ли отсюда, что P зануляется?
Ранее на ту же тему: http://posic.livejournal.com/191812.html , http://posic.livejournal.com/107398.html
