MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 11
Окончание серии постингов http://posic.livejournal.com/1106295.html и т.д.

Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k.

Комодуль над коалгеброй C называется конечно копорожденным, если его можно вложить в прямую сумму конечного числа копий C-комодуля C (который называется косвободным C-комодулем с одной кообразующей). Коалгебра C конетерова слева, если всякий факторкомодуль конечно копорожденного левого C-комодуля конечно копорожден, или, что то же самое, всякий факторкомодуль левого C-комодуля C конечно копорожден. Например, всякая подкоалгебра коалгебры, двойственной алгеброй к которой является кольцо формальных степенных рядов от конечного числа коммутативных переменных, конетерова -- эта такая двойственная версия теоремы Гильберта о базисе.

Вопросы: эквивалентны ли условия левой и правой конетеровости для коалгебр над полем? Эквивалентна ли конетеровость коалгебры ее кокогерентности (определяемой очевидным образом формулой "всякий конечно копорожденный факторкомодуль конечно копредставимого комодуля конечно копредставим" или всякий конечно копорожденный факторкомодуль косвободного комодуля с одной кообразующей является ядром морфизма косвободных комодулей с конечным числом кообразующих)?

Лемма: пусть D -- подкоалгебра коалгебры C. Для любого левого C-комодуля M будем обозначать через _DM максимальный C-подкомодуль в M, чья структура C-комодуля происходит из структуры D-комодуля. Тогда

а) если M -- конечно копорожденный C-комодуль, то _DM -- конечно копорожденный D-комодуль;
б) в частности, прямая сумма бесконечного числа копий левого C-комодуля C не является конечно копорожденным C-комодулем (если коалгебра C ненулевая);
в) если факторкоалгебра без коединицы C/D конильпотентна (т.е., D содержит максимальную кополупростую подкоалгебру или, что то же самое, все копростые подкоалгебры в C) и _DM -- конечно копорожденный D-комодуль, то M -- конечно копорожденный C-комодуль.

(Несложный набросок доказательства появится здесь.)