MGM-двойственность и ко-контра соответствие - 12
Окончание серии постингов http://posic.livejournal.com/1109490.html и далее по ссылкам.

Теперь мы можем закончить определение антидуализирующего комплекса C-D-бикомодулей, начатое в десятом постинге http://posic.livejournal.com/1106295.html . Нужно предполагать, что коалгебра C конетерова (или, хотя бы, кокогерентна) слева, а D -- справа; и тогда бикомодули когомологий комплекса B должны быть конечно копорожденными (соотв., конечно копредставимыми) левыми C-комодулями, и одновременно-независимо удовлетворять тому же условию, как правые D-комодули. Лемма из предыдущего постинга (по верхней ссылке) позволяет сравнить это условие с условием конечности на антидуализирующий комплекс квазикогерентных пучков кручения, обсуждавшимся в девятом постинге http://posic.livejournal.com/1105166.html .

****

Заключение

Таким образом, можно предположить, что производное ко-контра соответствие возникает в следующих четырех элементарных ситуациях (из которых, как из кубиков, составляются более сложные смешанные/относительные варианты; см. также обсуждение в шестом http://posic.livejournal.com/1101059.html , пятом и первом постингах этой серии):

- для эквивалентности между ко- и контрапроизводными категориями модулей D^co(A-mod) и D^ctr(B-mod) нужен дуализирующий комплекс бимодулей над парой колец (A,B)
- между ко- и контрапроизводными категориями комодулей и контрамодулей D^co(C-comod) и D^ctr(C-contra) над коалгеброй C над полем k имеется естественная эквивалентность; сама коалгебра С выступает в роли дуализирующего комплекса бикомодулей над собой
- для эквивалентности между обычными производными категориями ко- и контрамодулей D(C-comod) и D(D-contra) нужен антидуализирующий комплекс бикомодулей над парой коалгебр (C,D)
- между D(A-mod) и D(A-mod) имеется тождественная эквивалентность; само кольцо A выступает в роли антидуализирующего комплекса бимодулей над собой.

(Продолжение следует.)