FAQ
Q1: Как соотносятся контрагерентные копучки и инд-когерентные пучки?

A1: Как термины из разных терминологических систем.

Инд-когерентные пучки в буквальном смысле -- это просто квазикогерентные пучки (по крайней мере, на нетеровой схеме). Берется абелева категория когерентных пучков, применяется к ней конструкция категории инд-объектов, получается абелева категория квазикогерентных пучков.

"Инд-когерентные пучки" в том смысле, как это выражение употребляется у Гайцгори и т.д. -- это сокращенный оборот с опущенными словами, жаргонизм такой. На самом деле имеется в виду что-то вроде "инд-объектов в (бесконечность,1)-производной категории когерентных пучков". Это не пучки, а комплексы пучков. Не абелева или точная, а (бесконечность,1) или триангулированная категория.

Контрагерентные копучки, с другой стороны -- точная категория (в каком-то там смысле, "отстоящая на конечную гомологическую размерность от абелевой", на квазикомпактной полуотделимой схеме, и т.д.) Так же, как под "квазикогерентными пучками" в терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", понимается абелева категория пучков (а вовсе никаких не комплексов).

В терминологической системе, к которой относится выражение "контрагерентные копучки", выражению "инд-когерентные пучки" соответствует понятие "копроизводная категория квазикогерентных пучков". По крайней мере, на нетеровой схеме, подлежащая триангулированная категория (бесконечность,1)-категории "инд-когерентных пучков" в смысле Гайцгори естественно эквивалентна "копроизводной категории квазикогерентных пучков" в смысле моих текстов.

Между триангулированными категориями, построенными на основе квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков, в свою очередь, имеются разные эквивалентности -- в целом, этот класс феноменов называется "ко-контра соответствием". В частности, если на нетеровой схеме выбран дуализирующий комплекс, то с этим выбором связана (зависящая от него) эквивалентность между копроизводной категорией квазикогерентных пучков и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков.

Суммируя утверждения из двух предыдущих абзацев, получаем: "выбор дуализирующего комплекса на нетеровой схеме индуцирует эквивалентность между инд-когерентными пучками и контрапроизводной категорией контрагерентных копучков". Смесь французского с нижегородским, явственно режущая ухо в закавыченной фразе, выдает существо обсуждаемого вопроса.

Q2. Вопрос не об этом. Словоупотребление словоупотреблением, но почему-то кажется, что между понятиями, обозначаемыми этими словами, должна быть прямая связь.

A2. Да, я думаю, что понимаю, почему так кажется. Это ошибка, вот с чем связанная.

Обычно думают, что с морфизмом схем связаны два функтора обратного образа -- обычный f* и экстраординарный f^!. Если рассматривать неограниченные комплексы пучков, то оказывается, что на обычной производной категории квазикогерентных пучков хорошо определены функторы f*, а на копроизводной категории ("инд-когерентных пучках") -- f^!. Лингвистическая интуиция подсказывает, что "контрагерентные копучки" (что бы под таковыми ни понималось) тоже должны быть как-то связаны с функтором f^!.

Это путаница, потому что функторов обратного образа не два, а, как минимум, три (на самом деле, наверное, четыре...) Запутаться несложно, поскольку различие в литературе не подчеркивается, обозначение f^! употребляется в разных текстах в двух разных смыслах, а людей, внимательно читавших приложение Делиня к книжке Хартсхорна и т.п. источники, или самостоятельно продумывавших эти основания, очень немного. Но разница весома, груба, зрима и совершенно очевидна.

Есть функтор f*, сопряженный слева к функтору прямого образа f_*. Есть функтор f^×, сопряженный справа к функтору прямого образа f_*. Это функтор, существование которого на (производной или копроизводной) категории квазикогерентных пучков можно вывести из общих теорем существования сопряженных функторов, представимости Брауна и т.д. Это то, что у меня называется "экстраординарный функтор обратного образа Неемана" (хотя Делинь пишет, что его построил еще Вердье).

И есть функтор f^!, равный f* для открытого вложения и f^× для собственного морфизма f. Чтобы построить функтор f^! для произвольного морфизма (конечного типа) f, надо разложить этот морфизм в композицию открытого вложения и собственного морфизма (или замкнутого вложения и гладкого морфизма, и т.п.) и взять композицию двух совершенно разных функторов обратного образа для двух компонуемых морфизмов схем, из которых составлен морфизм f. Это то, что у меня называется "экстраординарным функтором обратного образа Делиня".

То, что он не зависит от разложения морфизма f в композицию двух морфизмов из требуемых классов -- довольно тонкий факт, который Делинь доказывает для ограниченных снизу производных категорий. Для обыкновенных неограниченных производных категорий квазикогерентных пучков он неверен (на что у Неемана есть контрпример), но верен для копроизводных категорий.

Для открытого вложения аффинных схем Spec S → Spec R функтор f* сопоставляет модулю M над кольцом R модуль S⊗_RM над кольцом S, функтор f^× сопоставляет модулю M над кольцом R модуль Hom_R(S,M), а функтор f^! так просто не опишешь (он и не существует ни в каком виде на уровне абелевых категорий, а только как триангулированный).

Определение абелевой категории квазикогерентных пучков использует для склейки функторы f* для аффинных открытых подсхем, а точной категории контрагерентных копучков -- функторы f^×. При этом S -- плоский, но обычно не проективный R-модуль (на самом деле, его проективная размерность никогда не превосходит единицы, но все же не ноль), так что функтор тензорного произведения с S над R точен, а функтор Hom из S над R только точен слева. Именно поэтому категория квазикогерентных пучков абелева, а категория контрагерентных копучков всего лишь точная.