Комплекс Амицура и комплекс Конна - 2
Таким образом, квадратично двойственный объект к DG-алгебре Амицура конечномерной алгебры A над полем k -- это следующий набор данных. Имеется кольцо A ⊕ End(A) с подкольцом A, вложенным диагональным отображением, компоненты которого суть тождественное отображение и вложение кольца A в кольцо матриц End(A) как подкольца операторов левого умножения. И имеется действие кольца A ⊕ End(A) на кольце A, при котором первое слагаемое A действует нулем, а второе End(A) -- линейными операторами.

Когомологии исходного и модифицированного комплексов Амицура суть просто кольца Ext над кольцом A ⊕ End(A) из модуля A, с соответствующей структурой модуля над кольцом A ⊕ End(A) в первом и во втором случае, в себя.

Объект, который нас интересует -- это, конечно, вложение кольца A в кольцо End(A) как подкольца операторов левого умножения. Заменив впоследствии конечномерную ассоциативную алгебру A на бесконечную, но конечно порожденную коммутативную алгебру R (для простоты можно считать, что над полем характеристики ноль), а кольцо матриц End(A) на кольцо Diff(R) дифференциальных операторов в R, мы рассчитываем прийти к тому варианту кошулевой двойственности, который нам на самом деле нужен. Комплекс Амицура при этом как раз заменится на свое пополнение, о котором идет речь в статье Б.Б. по первой ссылке в предыдущем постинге.

Первое слагаемое в прямой сумме A ⊕ End(A), однако, лишнее для нас в этой картинке. На когомологии оно не влияет (как ясно из их обсуждения выше), но в категории модулей оно создаст паразитную компоненту, которая нам вряд ли нужна. Прежде чем пополнять комплекс Амицура, хотелось бы заменить его на DG-алгебру, квадратично двойственную фильтрованной алгебре End(A) с нулевой компонентой фильтрации A ⊂ End(A) и первой компонентой End(A), и с действием End(A) на A линейными операторами, но без первого прямого слагаемого A в прямой сумме, которая получилась у нас при вычислении квадратично двойствнного кольца к комплексу Амицура.

Искомый комплекс -- это комплекс некоммутативных дифференциальных форм А. Конна. Он имеет вид

A → A⊗_kdA → A⊗_kdA⊗_kdA →

где dA обозначает просто факторпространство A/k. Дифференциал в этом комплексе задается очевидной формулой d(ad(b)d(c))=1d(a)d(b)d(c) и аналогично для тензоров/дифференциальных форм других степеней. Умножение в DG-алгебре некоммутативных дифференциальных форм определяется таким образом, чтобы элемент ad(b)d(c) ∈ A⊗d(A)⊗d(A) был произведением элементов a, d(b) и d(c), и чтобы выполнялось тождество Лейбница d(ab) = d(a)b + ad(b) для a, b ∈ A.

Можно проверить, что DG-кольцо некоммутативных дифференциальных форм для конечномерной ассоциативной алгебры A действительно квадратично двойственно кольцу матриц End(A) с подкольцом A, как описано выше. Естественное сюръективное отображение фильтрованных колец A ⊕ End(A) → End(A) двойственно инъективному морфизму DG-колец из комплекса некоммутативных дифференциальных форм в комплекс Амицура, задаваемому правилами i(a) = a и i(da) = 1⊗a − a⊗1.

На самом деле, видимо, комплекс Амицура все-таки удобнее для наших целей, чем комплекс Конна (его пополнение удобнее описывается). Вернее сказать, мы, возможно, предпочтем работать с комплексом, изоморфным комплексу Конна, но записанным в координатах, подобных тем, в которых записывается комплекс Амицура. Для этого мы просто опишем образ вложения комплекса Конна в комплекс Амицура как подкомплекс в последнем.

Этот образ состоит из всех тензоров a⊗b⊗c⊗d, удовлетворяющих уравнениям

0 = ab⊗c⊗d = a⊗bc⊗d = a⊗b⊗cd,

где умножение соседних компонент тензоров производится в алгебре A (и аналогично для тензоров других валентностей). Нетрудно убедиться, что эти уравнения действительно определяют DG-подалгебру в комплексе Амицура, и что, когда алгебра A конечномерна, эта DG-подалгебра квадратично двойственна кольцу матриц End(A) с подкольцом A и естественным действием End(A) на A линейными операторами.

Эту DG-алгебру естественно называть "приведенным комплексом Амицура". Итак, приведенный комплекс Амицура изоморфен, как DG-алгебра, комплексу некоммутативных дифференциальных форм Конна. Когомологии приведенного комплекса Амицура такие же, как когомологии обычного (неприведенного) комплекса Амицура (т.е., поле k в градуировке ноль и нулевые векторные пространства в остальных когомологических градуировках), и вычисляются тем же способом.