Некоммутативная рациональная теория гомотопий
Как известно, бар-кобар двойственность устанавливает эквивалентность между категорией аугментированных DG-алгебр, к которой добавлены формально обратные морфизмы к квазиизоморфизмам, и категорией конильпотентных DG-коалгебр, к которой добавлены формально обратные морфизмы к фильтрованным квазиизоморфизмам.

Рациональная теория гомотопий (допускающая в максимальной общности пространства с нильпотентной фундаментальной группой) есть эквивалентность между категорией аугментированных коммутативных DG-алгебр с когомологиями в положительных когомологических степениях, с обращенными квазиизоморфизмами, и категорией конильпотентных DG-коалгебр Ли, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами (над полем характеристики нуль).

Некоммутативная рациональная теория гомотопий есть эквивалентность между категорией аугментированных DG-алгебр с когомологиями в положительных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами, и категорией конильпотентных DG-коалгебр, сосредоточенных в неотрицательных когомологических степенях, с обращенными квазиизоморфизмами.

Таким образом, чтобы вывести некоммутативную рациональную теорию гомотопий (третий абзац) из бар-кобар двойственности для DG-алгебр и конильпотентных DG-коалгебр (первый абзац), нужно показать, что обращение фильтрованных квазиизоморфизмов между конильпотентными DG-коалгебрами приводит к обращению всех (не обязательно а приори фильтрованных) квазиизоморфизмов между конильпотентными DG-коалгебрами, сосредоточенными в неотрицательных когомологических степенях.