Стабилизация CDG-колец, или Читая Ленхарда Нг
Пусть B = (B,d,h) -- CDG-кольцо, и пусть m -- элемент его градуирующей группы (попросту говоря, целое число). Построим новое CDG-кольцо следующим образом: добавим к B две свободные ассоциативные образующие q и dq, степеней однородности m и m+1, соответственно, и продолжим дифференциал d с градуированного кольца B на кольцо B{q,dq} очевидными правилами d(q) = dq, d(dq) = [h,q]. Получится новое CDG-кольцо B{q,dq}.

CDG-модули (скажем, левые) M над B{q,dq} суть просто CDG-модули над B, снабженные дополнительным однородным оператором q: M → M степени m. Никаких условий согласования с дифференциалом или действием элементов из B на оператор q: M → M не накладывается; его суперкоммутатор с дифференциалом [d,q]: M → M определяет действие элемента dq ∈ B{q,dq}. Комплекс морфизмов левых CDG-модулей Hom_B{q,dq}(L,M) есть подкомплекс комплекса Hom_B(L,M), состоящий из всех B-линейных однородных отображений L → M, суперкоммутирующих с q и dq.

Для любого DG-кольца A = (A,d), вложение DG-колец A → A{q,dq} является квазиизоморфизмом, как нетрудно убедиться, предъявив явную стягивающую гомотопию. Для CDG-кольца B = (B,d,h), является ли вложение CDG-колец B → B{q,dq} ко- и/или контраэквивалентностью?