Ко- и контраэквивалентности (топологических) CDG-колец - 4
В отсутствие по-настоящему эффективных подходов к получению ко- и контраэквивалентностей, похоже, что имеющиеся достаточные условия для таких эквивалентностей классифицируются по способу их доказательства на три очевидные категории. Чтобы доказать, что морфизм CDG-колец f: A → B является коэквивалентностью, можно (см. обозначения в постинге http://posic.livejournal.com/1208024.html )

а^co) проверить, что существует копроизводный функтор расширения скаляров L^coE_f или I^coE_f, и обе композиции его с функтором I^coR_f изоморфны тождественным функторам; или

б^co) проверить, что обе композции копроизводного функтора корасширения скаляров R^coE^f с функтором I^coR_b изоморфны тождественным функторам; или

в^co) проверить, что функтор ограничения скаляров I^coR_f вполне строгий и его образ порождает категорию в таргете.

Соответственно, чтобы доказать, что морфизм CDG-колец f является контраэквивалентностью, можно

а^ctr) проверить, что существует контрапроизводный функтор корасширения скаляров R^ctrE^f или I^ctrE^f, и обе композиции его с функтором I^ctrR_f изоморфны тождественным функторам; или

б^ctr) проверить, что обе композции контрапроизводного функтора расширения скаляров L^ctrE_f с функтором I^ctrR_b изоморфны тождественным функторам.

Перечисление в обоих случаях примерно в порядке увеличения, так сказать, мощности и сложности соответствующих достаточных условий, и в особенности, ослабления требований плоскости/проективности морфизма f, которые в них используются. Вариант в^ctr) не упоминается, поскольку мне, кажется, не удавалось понять, как он мог бы работать.

Аргумент, который я начал записывать в постинге http://posic.livejournal.com/1202905.html -- это в^co). Аргументы б) похожи на в) в том, что там и там используется (про)нетеровость/(про)артиновость и убывающие фильтрации на CDG-кольце, но отличается в том, что б) похож на теорему 4.8 из Two kinds of derived categories..., а в^co) использует подход, разработанный первоначально по недоразумению для сюжета про некоммутативную теорию гомотопий из статьи про капиодинность и квазиформальность, а теперь включенный в виде раздела 1 в отрывок текста про ко- и контраэквивалентности http://positselski.narod.ru/equi-sec.pdf .

О существовании аргументов а), в которых не используются в явном виде никакие фильтрации на CDG-кольцах, я догадался в последние пару дней, размышляя над тем, как можно было бы доказать, что "стабилизация Нг" (по непополняемым образующим) в смысле http://posic.livejournal.com/1207673.html приводит к ко/контраэквивалентному CDG-кольцу.