Мысля
Кто-нибудь когда-нибудь может написать книжку под заголовком "Контрпримеры и парадоксы в гомологической алгебре". По образцу "контрпримеров в анализе" и "парадоксов теории вероятностей". Возможные сюжеты из круга моих интересов:

- контрпримеры в теории алгебр с образующими и соотношениями (от алгебр с "плохими" рядами Гильберта и Пуанкаре до невозможности определить кошулевость по паре рядов Гильберта двух двойственных квадратичных алгебр);

- ошибка Руса, с контрпримером в виде категории контрамодулей над целыми p-адическими числами (и выводом, что у этой категории нет множества кообразующих);

- неполнота теорий кокручения, порожденных малыми множествами объектов, в локально представимых абелевых категориях без инъективных/проективных объектов;

- неограниченные комплексы проективных/инъективных объектов, градуированно проективные/инъективные DG-модули, и разница между производными категориями первого и второго рода;

- двусторонние производные функторы сбалансированных функторов двух аргументов, их зависимость от отношения эквивалентности на комплексах;

- гомотопическая категория искривленных DG-модулей над искривленной DG-алгеброй, и несовместимость CDG-изоморфизмов и квазиизоморфизмов DG-алгебр (любые две DG-алгебры над полем можно связать цепочкой преобразований, некоторые из которых -- CDG-изоморфизмы, а другие -- квазиизоморфизмы);

- искривленные DG-алгебры, искривленные A_∞-алгебры и Kontsevich-Positselski vanishing

(бонус-трэк: модульная категория, связанная со слабо искривленной DG-алгеброй, уже совпадает с категорией, связанной с ней же как слабо искривленной A_∞-алгеброй -- и при этом все равно может вдруг занулиться! -- но не обязана, и, вообще говоря, совершенно нетривиальна -- в отличие от ситуации с обычной искривленной A_∞-алгеброй, модульная категория которой тривиальна всегда, да и сама такая алгебра тоже);

- обычная производная категория DG-комодулей над DG-коалгеброй может измениться при замене DG-коалгебры на квазиизоморфную (в отличие от ситуации с DG-кольцом);

- неотделимые контрамодули и парадокс ненулевой суммы ряда с нулевыми членами

(бонус-трэк: нефакторотделимые, в смысле nonquotseparated, контрамодули над ненетеровыми коммутативными кольцами с не-слабо-прорегулярными конечно-порожденными идеалами, и две естественные абелевы категории контрамодулей, вложенные одна в другую);

- нарушение теоремы локализации Томасона-Трубо для локально свободных матричных факторизаций (в отличие от локально свободных пучков);

- гомотопически инъективный комплекс квазикогерентных пучков на нетеровой схеме перестает быть таковым после ограничения на открытую подсхему

(бонус-трэк: и поэтому экстраординарный обратный образ Хартсхорна-Делиня не является функтором между обычными неограниченными производными категориями квазикогерентных пучков, а только между копроизводными категориями -- зато между копроизводными категориями не действует обычный производный обратный образ);

- локально контрагерентный копучок может не быть контрагерентным.

Что-нибудь еще (возможно, не из круга моих интересов...) ?