Категории точных слева/справа функторов
Категория точных слева функторов из малой абелевой категории в категорию абелевых групп абелева. На самом деле, условия на категорию, из которой бьют функторы, здесь можно очень сильно ослабить -- достаточно, чтобы она была точной в смысле Квиллена, или даже только "точной слева". В этом состоит "аддитивная теория пучков".

Копучки абелевых групп ведут себя хуже, чем пучки. Поэтому категория точных справа функторов из малой абелевой категории в категорию абелевых групп легко может быть неабелевой. Вот простые контрпримеры -- https://mathoverflow.net/questions/299014/is-the-category-of-left-exact-functors-abelian