"Хеломскiя Вѣдомости"'s Journal

Вариационные принципы в social science

Улучшайзеру на поду́м

Написавши постскриптум с толкованием нашей избирательной системы (метод Бадера-Оффера), засунул палец в нос в размышлениях, а что же это такое было.

Математически задача состоит в нахождении целочисленной аппроксимации мандатами в пределах суммарных 120 штук вектора, координаты которого - число голосов, поданных за прошедшие барьер партии, с точностью до пропорциональности.

Обозначим голоса, поданные за эти партии, как a₁, a₂, ... a_n. Без ограничения общности можно считать эти числа превышающими порог θ=0.0325 вещественными числами, в сумме дающими единицу: ∑a_i=1. Задача состоит в том, чтобы найти такие натуральные числа m₁,m₂,...,m_n∈N так, чтобы ∑m_i=120, m_k/120>θ, и при этом "расстояние" от точки (a₁, a₂, ... a_n) до точки (m₁/120,m₂/120,...,m_n/120) было бы минимальным. Весь вопрос в том, какой смысл придаётся понятию "расстояние", особенно если числа голосов различаются в разы, иногда во многие разы.

Описание метода Бадера-Оффера наводит на подозрение, что в рамках этого метода из двух этих векторов образуется вектор частных 120*(a₁/m₁,...a_n/m_n), который предлагается сравнивать с вектором (1,...1) в смысле наименьшего уклонения: "цена мандата" a_k/m_k должна быть одинаковой для всех k настолько, насколько это возможно, в sup-норме (метрика равномерной сходимости). Сам метод состоит в нахождении этого приближения методом "коротка у стула ножка, подпилю его немножко".

Конечно, все нормы на конечномерном пространстве эквивалентны ;-) но с точки зрения математика гораздо естественней иметь дело с обратными частными m_k/a_k (напомню, что параметры a_k заданы результатами выборов, а ищем мы m_k). Результаты могут оказаться отличными от того, что получается в исходной процедуре (и точно будут, если порог θ очень мал).

Но если б улучшайзером был я, я бы вместо сравнения отношений с единицей взял бы логарифмы отношений x_k=log(m_k/(120 a_k)) и сравнивал этот вектор с нулевым вектором (как минимум, асимметрия между голосами a_k и мандатами m_k исчезает). Есть ли какие-нибудь метафизические причины, по которым после логарифмирования нормы ∑|x_k|, ∑|x_k|² или max|x_k| окажутся лучше или хуже друг друга?

Практическое замечание. Как только мы договорились о критерии оптимальности, решать данную экстремальную задачу можно "тупым" перебором. Плюс-минус один мандат той или другой партии, - при наличии меньше 30 партий в Кнессете, - совсем не так много вариантов придётся перебрать, не нужно возводить в абсолют тот или иной алгоритм. Вопрос экзистенциальный в том, какой из этих критериев считать более препочтительным (и почему). Такой вопрос, конечно, должен решаться сугубо в демократическом порядке, голосованием в Кнессете. Но как объяснить депутатам из арабского списка или, скажем из ШАС, чем выбор той или другой нормы конкретно им будет полезен? Тут надобно призвать на помощь математиков. Они в принципе (конкретно я - точно не, но в принципе я знаю, как это надо делать) способны посчитать, с какой вероятностью при использовании данного метода лишний голос за партию Икс приведёт к тому, что партия Икс получит лишний мандат (соответственно, недополученный голос - к потере мандата). Ответ, конечно, зависит от того, сколько примерно голосов партия Икс предполагает набрать, но ответ (по принципу винных бочек Кеплера) не очень сильно должен зависеть от точных значений, важно, ориентируется ли партия на 5 или на 25 мандатов.

Готов к предложениям возглавить стартап, который на любые подобные вопросы даст любые, совершенно беспристрастные и математически безупречные ответы (которые, нелишне заметить, я буду готов защищать в суде без всяких юридических советников).

♣ Когда вы не сможете прочесть эту надпись здесь, вы сможете всегда её прочесть тут. Комментируйте где хотите, на Дриме уже таких осторожных комментаторов набралось.

А Оккам... да хрен с ним, с Оккамом!