Говорят, более абстрактные идеи позже усваиваются гораздо труднее или не усваиваются совсем. Та же гомологическая алгебра. Или еще страшнее, алгебраическая К-теория. Теория схем. У меня очень собственного мало опыта, позволяющего это подтвердить это или опровергнуть.

Пару лет назад я делал обзорный доклад о работах Воеводского. Ну, это слишком громко сказано. Я попытался только сформулировать самое знаменитое приложение - гипотезу Милнора о квадратичных формах. Кроме квадратичных форм, там участвуют К-теория Милнора (которая очень просто определяется, по сравнению с другими вариантами) и (о ужас!) когомологии Галуа. Но можно все-таки, как мне кажется, понять, чем это полезно и интересно, не вникая в детали и даже не зная, что такое когомологии Галуа. Судя по реакции, у всех, кроме алгебраистов, осталась впечатление типа "а зачем это нужно".

Когда человек только учится, ему можно рассказать определение К-теории Милнора и он скажет - здорово, какая красивая штука! Если человек провел несколько лет, занимаясь, скажем, дифференциальными уравнениями, его реакция будет - а зачем это нужно? Чем более высок уровень абстракции, тем, как мне кажется, нужно больше детской непосредственности (в духе того, как об этом говорил Колмогоров).

Можно привести еще такое соображение: известно много примеров первоклассных математиков, переходивших из более абстрактных разделов в более конкретные. Мамфорд: алгебраическая геометрия -> прикладная математика (распознавание образов). Новиков: топология -> математическая физика. Сулливан: топология -> динамические системы. Смейл: топология и динамические системы -> математическая экономика, теория вычислений. Примеры движения в обратном направлении найти очень трудно. На первый взгляд Арнольд перешел из динамических систем в почти топологию. Но за этим кроется важная деталь: Арнольд очень рано, по рекомендации Колмогорова, изучал топологию, вполне серьезно (даже был оппонентом на кандидатской диссертации Новикова).

Что касается возраста, то, я думаю, важен не биологический возраст, а время, проведенное за занятиями математикой того или иного типа. Предрассудки часто складываются еще в аспирантуре (как у akor168@lj, который все жалуется на "сложные определения и простые доказательства").

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Уважаемый Сова,

Вы не будете возражать, если я вынесу этот Ваш комментарий, в свой журнал как отдельный пост, с небольшим своим комментарием?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не, не возражаю. Только переставьте пожалуйста, слова "собственного" и "мало" в последней фразе первого абзаца. ;)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Ой, в той же фразе еще лишнее "это".

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, у Вас в журнале больше народу это увидит...Это наверное было бы интереснее.
Впрочем, я все-таки запощу прямо сейчас (и дам ссылку на Вас, если она появится).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вы хотите, чтобы я продублировал этот коммент у себя в журнале?

Это, конечно, можно, но отвлечет юзеров от вашего журнала.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Как Вам удобнее, я просто подумал, что у Вас
более интересная дискуссия может получиться.

А что отвлечет, не страшно..

(Reply to this) (Parent)

Тема интересная. Вы лучше её у себя запостите, а то от него не дождёшься

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А чего вы так. уже запостил. Правда, предлагает мне тоже.

(Reply to this) (Parent)

спасибо! я завтра запощу, внеся эти исправления, и какие-нибудь свои комментарии...

(Reply to this) (Parent)

Интересно, и, вероятно, верно. Тут, еще одно, абстракция - это, в некоторой степени, язык, а учить его в возрасте физиологически трудно.
Хотя, Лев Толстой уже за 60 учил греческий, чтобы прочитать Гомера в
подлиннике. И зачем это было ему нужно? Интересно было, наверное, как
ребенку.

Летом понял, что хороший результат получается, когда избавляешься от
предрассудков, смотришь на все наивными глазами. В этом смысле во многой книжной мудрости много печали.

(Reply to this) (Parent)

Спасибо за подробный ответ!

нужно больше детской непосредственности (в духе того, как об этом говорил Колмогоров).
- Ещё в "Урожаях и посевах" Гротендик об этом неоднократно повторяет. Там кажется употребляется слово "невинность".

(Reply to this) (Parent)

а как вы думаете, можно по книжкам и интернет сайтам математику учить ребенку 14 лет?
мы крутим с разных сторон "листочки", которые Вербицкий выложил и пытаемся склеить какую то общую картину, как то подступиться.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

По книжкам да, по интернету - нет.

Листочки Вербицкого я аж распечатал, из любопытства. Этим вы отобьете всякий интерес к математике. Если у вас другая цель, отложите их в сторону. Эти листочки излагают в форме задач материал, который сам по себе малоинтересен, но нужен для другого. Начинать надо с внутренне интересных вещей, ориентируясь на любопытство, а не на "надо". Кроме того, эти задачи нельзя решать без руководителя, который подскажет идеи, даст контекст, и т.д. Нормальное мотивированное изложение этого материала, ориентированное на студентов МГУ, занимает несколько сот страниц.

Есть много хороших книг, я могу попытаться что-нибудь посоветовать, если вы расскажете уровень подготовки. Есть книги и в интернете, особенно русские, но я считаю, что их нужно по возможности превращать в бумажные книги. Хотя бы потому, что их нужно читать "с карандашом в руках", таскать по дому, и т.п. Я в этом старомоден.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

была бы очень признательна за список книг!
Проблема в том, что уровень подготовки определить сложно. Дана учиться в 8 классе и по американской программе, по крайней мере, по той, что преподают в ее не очень хорошей школе, новости для нее начнутся в конце 10-го класса. Весь материал до этого, она уже проходила, причем в 6 классе.
На тестах в high school тоже не встретилось ничего нового.
У нее, вероятно, была хорошая русская подготовка по 5 класс включительно. Потом она потеряла год в американской школе и была отправлена учиться обратно в Питер. По разным причинам ( потерянный год, переходный возраст, перемена мест и школ) она стала учиться плохо, в смысле оценки в хорошей школе были плохие. Но ей по прежнему нравился сам процесс. В прошлом году, ее учитель геометрии Григорий Залманович, как я понимаю, произвел на нее неизгладимое впечатление.
Самое плохое , что для нее математика ассоциируется сейчас только с одним – со скукой.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

"Самое плохое , что для нее математика ассоциируется сейчас только с одним – со скукой."

С этим трудно бороться. Никаких листочков Вербицкого. Я бы начинал с Мартина Гарднера и Я.И. Перельмана. Например,

Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery,

или Перельман, Живая математика - http://www.mccme.ru/free-books/djvu/perelman/alive_math.djvu. Для того, чтобы ее читать с экрана или распечатать, вам нужен (бесплатный) plig-in к IE, который можно найти Гуглом на DjVu.

Эти две книжки были одними из первых, которые я сам читал.

Вообще, на сайте http://www.mccme.ru/free-books/ilib.htm есть много хороших популярных книг на русском языке, хотя почти все они предполагают довольно высокий уровень. Книжки Перельмана хороши еще тем, что их можно читать, пропуская трудные места.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

спасибо.
купила книжку про живую математику, буду ждать пока дойдет :-)
Думаю, что был бешеный наплыв желающих, если бы кто то создал коммюнити для русских детей, живущих в разных местах, которые хотят учиться математике.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Купите Гарднера тоже, она очень дешевая и очень хорошая, дойдет за несколько дней.

Если вы имеете ввиду коммьюнити в ЖЖ - это нереально, по нескольким причинам. Главная - письменные адекватные ответы на содержательные вопросы (на любом уровне) потребуют огромного количества времени. Ну и еще трудности с набором формул, невозможность рисовать поясняющие картинки. В то время как студенту в ЖЖ я могу сказать - посмотрите такую-то книжку, там это должно быть, для детей это не годится. Можно, конечно, ограничится комментированным списком литературы, но это не коммьюнити.

На самом деле, вы живете в Нью-Йорке. Там должно быть все, включая кружки для детей и т.п. Я не знаю, как это искать, но уверен, что это есть. Несколько дикая идея: попробуйте обратится к Mark Saul, который упоминается здесь: http://www.nsf.gov/od/lpa/newsroom/pr.cfm?ni=60. Он раньше занимался школами в Нью-Йорке. К сожалению, я его лично не знаю.

(Reply to this) (Parent)

еще можете попробовать спросить (почитать) bormozel , он кружками в питере занимается: впрочем, советы совы мне нравятся больше...

а коммуните создать не проблема технически, но как правильно заметил сова, для родителей скорей, чем для детей, и обсуждать список литературы :), кидать туда задачки, но не решения :))

(Reply to this) (Parent)