Думаю, что аксиома выбора не нужна, и единственность следуют из наличиия какнонического порядка на поле рациональных чисел. Точно так же естественный
порядок есть и на поле из двух элементов---он "неявно" работает в конструкции Конвея. В общем случае такого единственного порядка нет---но если его выбрать,
можно построить замыкание единственным образом, т.е. по-Вашему, есть единственность у них.

Я не вспомню матиматически точной формулировки, если ее и проиводил Концевич.
Но, видимо, фраза "дано конечное поле. каконически постройте его алгебраическое замыкание" имеет формальныхй смысл.

если не путаю, такой: построить функтор Ф в алг.замкнутые поля, содержащие наше конечное поле К, из категории с объяктом К и морфизмами-автоморфизмами К, причем такой, что сужение Ф(ф) на К есть ф, для любого автоморфизма ф поля К. Впрочем, эта переформулировка носит несколько "некатегорный" характер...

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Думаю, что аксиома выбора не нужна, и единственность следуют из наличиия какнонического порядка на поле рациональных чисел.
Нужна, если мы не знаем, что алгебраическое замыкание
счётного поля счётно. Она используется там для того, чтобы
показать, что счётное объединение конечных множеств
счётно. Насколько я помню, там имеется равносильность.

>В общем случае такого единственного порядка нет---но если его выбрать,
можно построить замыкание единственным образом, т.е. по-Вашему, есть единственность у них.

Интересно. То есть для любого из p! порядков
на поле из p элементов можно канонически построить
алгебраическое замыкание?

>если не путаю, такой: построить функтор Ф в алг.замкнутые поля, содержащие наше конечное поле К, из категории с объяктом К и морфизмами-автоморфизмами К, причем такой, что сужение Ф(ф) на К есть ф, для любого автоморфизма ф поля К. Впрочем, эта переформулировка носит несколько "некатегорный" характер...

Наблюдается лёгкая проблема: единственный автоморфизм
поля из простого числа элементов тождественен.

(Reply to this) (Parent)