>они ведь и нужны бывают.
Можете привести пример, где с дельта-эпсилонами становится
проще, чем без них?

>Про меры я так и не понял, я видимо не видел одного из двух вышеперечисленных способов.
http://en.wikipedia.org/wiki/Daniell_integral

>Я же имел в виду:
А замыкание множества А - это точки предельно близкие к множеству А, они отображаются в замыкание отображения А, т.е. никуда не удаляются.
А отсюда уже главное определение элементарно выводится.

Конечно, эти определения равносильны.
В принципе, можно излагать и так, но тогда, видимо,
всю топологию следует излагать на языке замыканий.
Просто открытые множества чаще используются.

>По сути, разделяет понимание на две части. (Я знаю, как определяется замыкание, но так понимать новичкам удобней).

Можно пояснить, что это за две части?

>чтобы понять приходится действовать от противного, воображать в прообразе точки без окрестности и посылать это все опять через функцию

Этого я совсем не понял. Что означает словосочетание
«воображать в прообразе точки без окрестности»?.

>Если выкинуть начало вашего рассуждения, которое является формулировкой дельта-эпсилона, то у вас остается:

Это совершенно неверно.
Математики 18 века мыслили именно в таких терминах,
и никаких дельта-эпсилонов вообще не упоминали.
Дельта-эпсилон — лишь один из возможных
вариантов формализации, далеко не самый лучший.
Я привёл другой вариант, более понятный.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

1) Это верно по той причине, что
для любой точки x и для любой точки y достаточно близкой к x мы имеем, что f(y) сколь угодно близко к f(x)*
самым прямым путем переводится в "для любой окрестности f(x) мы можем найти окрестность x такую, что она попадает в выбранную окрестность f(x)", что и есть обобщенный дельта-эпсилон. А самое удобное определение - прообраз открытого открыт - получается из * посредством еще одного шага, рассуждая от противного мы представляем, что в прообразе есть точка, ни одна окрестность которой не лежит в прообразе, и тогда * для этой точки не выполняется.
Разница в один шаг, но она есть, меня это немного смущает. Судя по всему, это происходит из-за наличия inverse image в удобном определении. Людям легче воспринимать прямые отображения чем обратные. Чтобы это устранить (всегда лучше, когда наиболее удобное является наиболее интуитивным), возможно стоит заменить функции более общими теоретико-множественными конструкциями еще со школы, но это, скорей всего, вредоносно.


Можете привести пример, где с дельта-эпсилонами становится
проще, чем без них?
2) Я не имел в виду конкретно непрерывность, а технику работы с подобными (для любого эпсилона выполняется какое-то неравенство) вещами вообще.
Судя по вашему замечанию, вы считаете, что нет ни одной полезной теоремы, использующей непрерывность в метрических пространствах на полную мощность?

3)Про интегралы понятно. Я видел, как интеграл Лебега определяется через расширение функционала с непрерывных функций, определенный через интеграл Римана. Но и видел через меру Лебега. Не могу сказать, что один из этих способов мне показался уродским, но я плохо знаю эту тему пока. Через годик, я думаю, у меня это в голове прояснится.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Разница в один шаг, но она есть, меня это немного смущает.

Теперь я понял, что имелось ввиду.
Хорошо, если не нравится так, то можно говорить,
что прообраз окрестности есть окрестность
(ну, или так как вы сформулировали выше).
С другой стороны, при изучении общей топологии предполагается,
что уже хорошо усвоена теория множеств, поэтому
никаких проблем с обратным образом не должно возникать.
Во всяком случае, без эпсилон-дельт всё равно становится проще.

>Я не имел в виду конкретно непрерывность, а технику работы с подобными (для любого эпсилона выполняется какое-то неравенство) вещами вообще.

Не обязательно приводить пример с непрерывностью.

>Судя по вашему замечанию, вы считаете, что нет ни одной полезной теоремы, использующей непрерывность в метрических пространствах на полную мощность?

Не понимаю, о чём речь. Все или почти все интересные
теоремы про метрические пространства верны
в общем случае (для топологических или равномерных)
и доказываются там проще (следствие принципа Гротендика:
чем более общий характер имеет результат, тем проще
он доказывается).

Но я готов рассматривать конкретные примеры.

В принципе, я не имею ничего против метрических пространств,
я только против того, чтобы непрерывность (и некоторые
другие простейшие понятия общей топологии) рассказывать
на языке эпсилон-дельта.

(Reply to this) (Parent)