>Но база-то топологии всё равно определяется именно через эпсилоны.

Для метрических пространств — да.
Для топологических — нет.
К тому же топологию на метрическом пространстве можно
определить многими способами. Например, как
слабейшую топологию, при которой метрика непрерывна
по первому аргументу. И никаких эпсилонов.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> К тому же топологию на метрическом пространстве можно
> определить многими способами. Например, как
> слабейшую топологию, при которой метрика непрерывна
> по первому аргументу. И никаких эпсилонов.

Интересно только, как на основе такого определения получить хоть один мало-мальски содержательный результат про метрические пространства, предварительно не доказав, что эта слабейшая — та самая, что вводится через эпсилоны.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Не вижу смысла доказывать что-то про метрические
пространства, если можно сразу доказать тоже самое
утверждение в общей топологии на более простом
и понятном языке открытых множеств.
Зачем самому создавать себе трудности?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

А зачем объяснять простые вещи через сложные? Эпсилон — это число, т.е. объект весьма простой природы. А открытое множество (когда пытаешься начать работать с ним по-настоящему, а не языком) — вещь зело нетривиальная. Попробуйте-ка задать сходу тип данных "открытое множество" в каком-нибудь языке программирования.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Попробуйте-ка задать сходу тип данных "открытое множество" в каком-нибудь языке программирования.

Простота задания какого-либо объекта в программировании
никак не кореллирует с его простотой в математике.
Это и понятно, потому что математика — не программирование.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> математика — не программирование.

Разумеется, математика — это не программирование, а наука о программировании и связанных с ним закономерностях. Но я абсолютно не вижу, что эта поправка меняет в рассматриваемом контексте.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Наука о программировании и связанных с ним закономерностях — это computer science.

На примере теоремы Лефшеца я уже продемонстрировал,
что содержательная математика ею не исчёрпывается.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Простите меня, убогого, но в моей слабой голове не укладывается, как может быть "содержательной" теорема, опровергнутая на контрпримере.

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Контрпример, который я привёл, опровергает
конструктивный вариант теоремы Лефшеца.
Обычная теорема Лефшеца, конечно, остаётся верной,
более того, находит содержательные применения в физике
конденсированных сред.

(Reply to this) (Parent)