Cпасибо за приход.


3) А как *доказать* трансфинитную индукцию без использования актуальной бесконечности?
сформулировать мы можем, да, без.. И правильно ли я понимаю, что индукция по формулам с кванторами -- не"актуальная" бесконечность? А какая?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Да, там много всего бывает... В довоенной древности различали "актуальную" и "становящуюся" бесконечности, а теперь идет градация на много видов, в зависимости от силы аксиом существования использующихся для определения этих разных видов бесконечных множеств.

Например примитивно рекурсивные бесконечные множества - это просто пустышки набитые точками. Их "существование" или "несуществование" - это вопрос удобства записи. Философия, признающая такие множества называется финитизм.

АCА_0, арифметика пеано определяет все арифметические множества. Здесь из любого множества можно выделять подможества с помощю формул первого порядка с кванторами и использовать индукцию. Математика с ТАКИМИ бесконечными множествами называется конечной математикой.

Дальше идут АCA^'_0, АТR_0, Pi_1^2 CA_0 и Z_2.
До АТR_0 бесконечность еще не называют актуальной, потому что нет сильных формул выделения.

На твой вопрос как обоснуется ТR(эпсилон_0) - ответ такой: доказывается в АCA^'_0, например следует из бесконечной теоремы Рамсея или из трансфинитной индукции до ординала эпсилон_{эпсилон_0}.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

я спрашивал, можно ли математически доказать трансфинитную индукцию до эпсилон_0,
не привлекая актуальной бесконечности---и не говоря о множествах---, исходя из
общепризнанных математиками аксиом? теорема Рамсея аксиомой не является.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ACA^'_0 nu ili 1-neprotivorechivost' PA ne
soderzhat ssylok na aktualnuju beskonechnost' i
dokazyvajut TR(epsilon_0).

(Reply to this) (Parent)