> Допустимы те числа, которые мы можем
> материально представить на доступных нам машинах.
> Естественно, эта граница меняется со временем.

Если добавить к этому фразу "и допустимы те операции с числами, которые мы можем провести на доступных нам машинах" — получится в точности позиция конструктивной математики. Так что тогда не так-то?

> Обозначим его G.
> Имеет ли в конструктивной математике смысл следующее
> тождество: 2G + 3G = 3G + 2G?

Нет, не имеет. Потому что в выписанном Вами тексте это просто буква (а как умножать буквы на натуральные числа — непонятно). Чтобы получить нечто осмысленное, надо либо подставить вместо обозначения G собственно обозначаемое число (а за это Вы вроде не берётесь), либо честно признать, что речь идёт не непосредственно о Вашем тожестве, а об арифметической формуле вида \(\exists x (G(x))\land (2x+3x=3x+2x)\), где через \(G\) обозначен предикат "быть числом Грехема". Формула же сия имеет зело ясный смысл (и обсуждать можно только проблему верности этой формулы с точки зрения оного смысла).

> В таком случае, поясните пожалуйста,
> как здесь используется абстракция
> потенциальной осуществимости.
> И используется ли она здесь вообще?

Боже, ниспошли мне терпения :-( В триста тридцать третий китайский раз повторяю: все реально запускаемые нами вычислительные процессы мы делим на два сорта — те, которые не наталкиваются на границы наших конструктивных возможностей, и те, которые наталкиваются. Процессы первого сорта мы рассматриваем в конструктивной математике (и для таких процессов её выводы прекрасно работают). Процессы второго сорта мы не рассматриваем в оной (а потому утверждение, что для таких процессов выводы КМ могут разойтись с реальностью, не говорят ничего: тут мы ничего и не обещали). Вот эта-то "фильтрация" вычислительных процессов и есть абстракция потенциальной осуществимости. А каким образом эта "фильтрация" осуществляется в каждом конкретном случае, для каждой конкретной машины — это другой вопрос. Важный, интересный, но другой.

Что в сказанном "не имеет материального основания"?

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Тогда всё становится ещё проще.
Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
конструктивным натуральным числом?

Что касается остальное, то andrey_bovykin@lj
формулирует гораздо более содержательные вопросы:
http://bbixob.livejournal.com/75286.html?thread=680982#t680982

(Reply to this) (Parent) (Thread)

> Является ли программа, вычисляющая число Грехема,
> конструктивным натуральным числом?

Нет, не является. Зато теоремой конструктивной математики является утверждение, что при наличии достаточного количества ресурсов эта программа будет результативной. Точно так же, как другой теоремой этой же самой конструктивной математики является утверждение, что для современной вычислительной техники оных ресурсов не хватит (в этом отношении КМ вполне разделяет Ваш подход к вопросу: Вы тоже не брали это число "в железе", а охарактеризовали его перечислением неких свойств, после чего теоретически заключили, что среди "относительно осязаемых" чисел объекта с требуемыми свойствами не имеется).

С уважением,
Гастрит

(Reply to this) (Parent)