| Математическое----а философии и геометриях Зарисского |
[May. 3rd, 2004|12:31 am] |
Геометрия Зарисского --- ето нетерово топологическое пространство на М^н, н натуральное, на которм определена размерность замкнутых подмножеств (не обьязательно Крулля), удовлетворяушея аксиомам, похожим на аксиомы для размерности Курлля в топологии Зарисского---
(а) координатная проекция замкнутого многожества замкнута
(б) размерность обьединения ето максимум размерностей
(в) размерность собственного неприводимого замкнутого подмношества строго меньше
(г) полунепрерывность размерности слоя для координатрых проекций
(д) размерность образа есть размерность прообраза минимум размерности слоя для координатных проекций
(ж) прегладкость : т.Безу для размерности пересечения двых замкнутых множеств
(е)* каждое счетное покрытые замкнытыми множествами имеет конечное подпокрытие
(у етого условия есть т.-модельная переформулировка, позволяюшая работать и со счетными структурами...)
Примерами геометрий Зарисского являются алгебраические многобразия над несчетным алгебраически замкнутым полем, комплексные аналитические многобразия, ригид аналытиц геометры, некоторые диффуры (но для почти всех диффуров структура Зарисского будет тривиальна), и может быть, даже одна суперкривая (в смысле супермногообразия, etc); хочется, чтобы примером был и тор с real multiplication...
Как же ето все вписывается в идеологию, о котороя я говорил---People can learn the world through the language (или так---Тора написана на языке человека)?
Структура, мир здесь ---- множество точек нашего нетерова топологического пространства.
Язык --- у каждого замкнутого множества свое личное имя, и имена есть также у функций проекций и равенства.
Мы можем сказать хоть что нибудь --- ето наши аксиомы; они простые, структурные; важно, что они простые _лингвистически_; хоть что-то верно (а именно, наши аксиомы)---как же алгебраическому геометру жить без (понятия) размерности ?
People can learn the world through the language---в етом языке, при наличии етих аксиом, можно развить достаточно глубокую теорию; етого языка и етих аксиом хватает для формулировки и простейших свойств многих основных понятий алгебраической геометрии, как-то
(а) геометрии Зарисского удовлетвирют т.Шевалле про конструктивные множества
(б) можно говорить о регулярных функциях, их простейших свойствах, кратности пересечений замкнытых множеств, и т.д.
(в) приведем и нетривиальный пример; покажем, как теорема Чао о том, что аналитическое подмногообразие проективного пространства над полем комплексных чисел всегда алгебраическое, может быть с
формулирована (и доказана!) в терминологии структур Зарисского.
Мы рассматриваем проективное пространство P(C) как аналитичкое многообразие, т.е. рассматриваем на P(C) "тополгию структуры Зарисского" Т_ан, соостояшюю из аналитических подмообразий. (то, что ето определяет структуру Зарисского, очевидно). С другой стороны, в заключении теоремы мы рассматриваем P(C) как алгебраическое многообразие---т.е. с "тополгией структуры Зарисского" Т_ал, определенной замкнутыми по Зарисскому многожествами. Таким образом, заклучение теоремы Чао
говорит, что Т_ан совпадает с Т_ал.
Теперь можно сформулировать аналог теоремы Чао:
Пусть Т_ан --- топология структуры Зарисского, расширяюшая топологию Т_ал на P(C). Предположим также, что Т_ан-размерность любой кривой в P(C) совпадает с ее Т_ал-размерностью. Тогда Т_ан=Т_ал.
Наличие такой теоремы показывает, что, грубо говоря, в стандартном доказательстве т.Чао очень мало что используется по делу.
|
|
|
