ouf, cqfd, petit carré, etc.

Recent Entries

You are viewing the most recent 25 entries.

9th August 2015

5:24pm: геи и едят тхину
вернулись в Тель-Авив после почти месячного отсутствия.
два континента и девять городов.
прямо перед отъездом в Баварии был некий народный фестиваль,
и всюду ходили упитанные баварцы и баварки в национальных одеждах.
в Израиле по-прежнему геи и едят тхину. войны этим летом пока нет.
купили малиновый уксус (в подарок) и голубичный (себе).

кажется, придумал, как можно добить в максимальной общности вопрос
Зильбера (сложно). ещё очень проникся пределами Громова-Хаудорфа в условиях
о-минимальности. оказывается, даже если метрика неопределима, это
вовсе не значит, что ничего нельзя понять, про то есть заметка А. Бернига.

ещё нам внезапно упал на голову лофт в Барселоне на три недели. безвозмездно,
точнее за catsitting. так что радостно полетим туда спасаться, уже скоро.
Current Music: Godspeed You! Black Emperor - Sleep

28th April 2015

6:14pm: введение в алгебраическую геометрию
в который раз возвращаюсь к запискам, и узнаю что-то новое. теперь вот узнал, что локальная
двойственность и построение инъективных объектов это одно и то же, а так же способ
применить это знание к нахождению когомологий проективного пространства ("умным"
методом, не "shut up and calculate"). очень крутой стиль изложения, когда на нескольких
страницах обрисовывается простейший случай применения нетривиальной науки, которая
в начальные курсы обычно не проникает. не знаю, как это с педагогической точки зрения,
хорошо или плохо, я лично получаю эстетическое удовольствие.
Current Music: Crystal Castles - Frail

4th April 2015

1:28pm: en guise d'un programme
Grothendieck circle Лэйлы Шнепс очнулся и начал выдавать архивные документы. Вот,
например, что-то типа синопсиса для курса Шурика в Монпелье в 78-79 годах.
Написано языком эээ манифеста.


кстати, что значит "un écolie n'a que f..." в последнем абзаце?
если f-word, то как-то кажется не к месту.

2nd April 2015

2:54pm: Тао у Колберта


30th March 2015

1:55pm: Science Lives: Pierre Deligne
интервью Делиня (старое)

про стиль работы ("без достаточной общности надо заниматься
вычислениями и я обязательно допущу ошибку")
про службу в оккупированной Германии (с походами на арбайтстэгунг)
про отношения со студентами (формально их почти не было, потому
что "как я могу заставлять человека заниматься какой-то задачей")

24th March 2015

1:48pm: люмини
сегодня разговаривал с м. артином, рассказал ему, как доказывается
теорема грушовского-зильбера и про своё.
артин считает, что теоретико-модельщики должны теперь заниматься
доказательством теорем об алгебраизации для формальных схем, по типу
grothendieck existence.

спать хочется зверски.

4th March 2015

5:18pm: Lou van den Dries, George Orwell, and Mandatory Ethics Training
оказывается Лау ван ден Дрис, автор важной книги
по о-минимальности, был привлечён к суду за отказ участвовать
в принудительных политинформацияхзанятиях по ethics training

Lou van den Dries, a tenured professor at the University of Illinois
at Urbana-Champaign, has been working at the university since 1988. In
2003, Illinois issued the (5 ILCS 430/) State Officials and Employees
Ethics Act [2] that required each officer, member, and employee to
complete, at least annually beginning in 2004, an ethics training
program conducted by an appropriate state agency. Van den Dries replied
with "I find it critically important to refuse my collaboration with
this Orwellian scheme." His defiance to take mandatory ethics training
from 2006-2009 caused the Illinois Executive Ethics Commission to put
him on trial for failure to comply with the law.

Dries spoke against mandatory ethics training, stating

"Mandatory ethics training for adults is an Orwellian concept and has
no place in a civil and free society. It is Big Brother reducing us
to the status of children."

"Subjecting all state employees to ethics training because of corruption
among a few politicians and their cronies is collective punishment."

"Compliance with the ethics training is plainly based on coercion."


дело он, к сожалению, проиграл.
10:05am: sela-kharlampovich-myasnikov
следы известной контроверсии на mathoverflow

30th June 2014

10:07pm: напоминает игру в напёрсток


Интегрирую мотивно кривую Тэйта по Грушовскому-Каждану

Напоминает игру в наперсток, особенно если картинки рисовать

Current Mood: tired
Current Music: Сруб - Лень

24th April 2014

9:21pm: a new proof of relative trichotomy conjecture
Доложил про текущую работу.

слайды

Что докладывал, более-менее записано, есть ещё "первая часть", которую понятно,
как делать, но ужасно муторно. Но первая часть, то есть сведение гипотезы
к случаю, когда есть семейство замкнутых кривых, для единственного известного мне
приложения и не нужна.

5th February 2014

4:08am: ***
Доказал тончайшую лемму.
Теперь все красиво.
Current Mood: accomplished
Current Music: Сруб - Живица

24th January 2014

4:35pm: автоморфизмы жирных точек
запишу, чтоб потом обдумать.

интересно, есть ли какая-то нетривиальная наука про автоморфизмы
неприведённых (nonreduced) многообразий, например, про сравнение
их с автоморфизмами редукции.

уже у жирных точек Spec k[x]/x^n есть нетривиальные автоморфизмы. и что
за группа понятно вроде, но только я её нигде не встречал раньше. я вначале
думал, что будет просто какая-то штука типа флаг сохраняющая (на джетах
есть естественная фильтрация), ан нет.

14th January 2014

3:05pm: вопрос про алгебраические группы
вот кстати. в который раз уже вляпываюсь: есть факт, который абсолютно
банален для алгебраических групп над C, в силу существования экспоненты,
а стоит задаться вопросом, что бывает для вообще алгебраических групп
(в т. ч. в положительной характеристике) --- вообще неясно, куда глядеть.

Пусть у нас алгебраическая группа G и в ней неприводимое замкнутое
подножество Z, причём касательное пространство Z постоянно как
подпространство алегебры Ли G, и является подалгеброй Ли. Утверждение: тогда
Z это класс смежности по замкнутой подгруппе. Поле, наверное, для простоты
пусть будет алгебраически замкнутым.

Это вообще верно в положительной характеристике?

13th December 2013

2:09am: лекции в HSE
уфф. сегодня состоялась последняя лекция (из шести) согласно моей
(черезчур) амбициозной программе. из программы осталось где-то две трети, и то
многие доказательства пришлось выкинуть. записки вот, последнюю лекцию в
потребном виде выложу на днях.

сердечная благодарность стойким слушателям, следившим практически до
конца (!) и терпевшим мои периодические затыки с угрюмым разгадыванием
доски (надо что-то с этим делать; есть эффект лестницы, у меня эффект
доски). групповую конфигурацию так и вообще промычал, извините.

скажу банальность, но после этих лекцияй я знаю о предмете гораздо
больше! докладываться о чём-нибудь вообще здорово.

кстати, заметил такую штуку в стиле программы [info]dmitri_pavlov.
сейчас я вам расскажу, что таки изучает теория моделей.

теория моделей изучает симплициальные булевы кольца.

булево кольцо это кольцо, в котором x^2=x для всех x. в таких кольцах
происходят всякие прикольные вещи, например все конечно порождённые
идеалы в них главные, а все простые --- максимальные. ещё все поля
вычетов в них - F_2, которое единственное в своём роде булево
поле. кстати, все булевы кольца --- алгебры над F_2. спектр булева
кольца --- вполне несвязен. пример булева колца: все подмножества
какого-множества с перечением (умножение) и симметрической разностью
(сложение).

симплициальное булево кольцо это контравариантный функтор из категории
конечных множеств (включая пустое) со стрелками --- включениями, в
категорию булевых колец. в принципе можно ещё ординалы брать. если
приводить пример из теории моделей как она формализована на
сегодняшний момент, булевы кольца определимых множеств какой-то модели
определимые формулами с n свободными переменными образуют булево
кольцо, образ функтора на n, а навешивание кванторов существования
определяет морфизмы соответствующие включениям конечных
множеств. пустому множеству соответствует F_2.

да, из этого видно, что нас интерсуют только те симплициальные булевы
кольца R, в которых определены вложения R^i \times R^j \to R^{i+j}.
также, морфизмы "навешивания кванторов существования" должны
коммутировать и ассоциировать.

вообще, такое симплициальное булево кольцо на самом деле есть
теория. что такое модель теории T? это морфизм (симплициальных колец)
из T в симплициальное кольцо подмножств какого-то множества M. тут
становится понятно, какую роль играет на нулевом уровне F_2: при
отображении будет ядро у морфизма, состоящее из замкнутых формул,
которые в модели не выполняются.

типы --- это точки спектров колец на разных уровнях.

задать "язык" это задать генераторы симплициального кольца. арность
--- это на каком уровне генератор живёт. как породить "пустую" теорию при
заданном языке? не уверен на 100% насчёт деталей, но вроде ясно, что нужно
замкнуть относительно проекций и добавить декартовы произведения в
высшие уровни симплициального кольца. как? для уровня n надо очевидно
брать что-то типа свободного произведения всех декартовых произведений
R^i_1 \times ... \times R^i_k, таких, что \sum i_k = n. что такое
свободное произведение? а просто тензорное произведение. теперь надо
замкнуть относительно кванторов, снова добавить декатровы
произведения, ... Взять предел (по идее так это и происходит при
построении формул).

так вот, в пустой теории в уровне пустого множества образуется
какое-то булево кольцо. выбрать полную теорию в языке --- это выбрать
в ней максимальный идеал. Чтобы получить симплициальную алгебру
определимых множеств, надо все уровни стензорить с полем вычетов этого
идеала.

на самом деле таким же образом из теории делается теория определимых
над каким-то множеством параметров. надо выбрать тип параметров (для
простоты можно думать про конечный набор элементов), сдвинуть градуировку
чтоб он оказался в нулевом уровне и стензорить все уровни с его полем
вычетов.

В этом формализме естественно выписывается построение насыщенных
моделей итд. Однако хочется надеяться, что можно будет про них забыть,
как про страшный вейлевский сон, и всё писать только в терминах
симплициальных колец/спектров. Если, конечно, с этим не будет много мороки.

Такой вот бурбакизм.

upd (7/1/2014): про симплициальные булевы кольца я конечно проврался.
то есть навешивание квантора существования это конечно не гомоморфизм
булевых колец, максимум гомоморфизм мультипликативных групп.
однако "degeneracy maps" таки настоящие морфизмы колец, поэтому всё остальное
сказанное выше остаётся верным.

наверное(?) можно как-то всё-таки не в лоб рассматривать спектры как
симплициальные множества. во всяком случае я надеюсь.

22nd November 2013

3:12am: чжоу
отрыл только что такую клёвую штуку.

Петерзиль (кстати, это слово значит "петрушка" на иврите) и Старченко доказали:
пусть есть о-минимальное расширение R' вещественного поля R, и пусть есть
структра C, состоящая из структуры поля на алгебраическом замыкании R + ещё
что-то определимое в R', так вот это C нестабильно тогда и только тогда, когда
оно является _собственным_ расширением алгебраического замыкания R (то есть когда
кроме чистого поля есть какая-то не определимая в нём штука).

Из этого например следует теорема Чжоу.

Возьмём P^n плюс все аналитические подмножества. Оно содержит (C, \times, +),
можно рассмотреть расширение оного следами аналитических множеств. Известно,
что компактные комплексные многообразия стабильны, P^n в частности. Также известно, что
они определимы в R_an, которая o-минимальна. Значит, аналитические
множества, по процитированной теореме, определимы в (C,\times,+). Детали заполните сами )

Заметьте, я тут за пять строчек использовал аж три нетривиальных результата!
Определимость комплексных многообразий, О-минимальность R_an, теорема Петерцила-Старченко.
Из пушки по воробьям! Но прикольно.

Вообще, надо щупать, какие комплексные многообразия определимы в о-минимальных вещах
и смотреть, какие у них интересные редукции. Сдаётся мне, что можно что-то да нарыть.
Спрашивал кстати Петерцила, так вот он, говорит, даже не знает, определимы ли штейновы в R_an.

Глаз косит в сторону вот этого

11th November 2013

3:18pm: трихотомия х.-з.
вот все считают, что трихотомия зильбера для геометрий зарисского такой
крутой результат, сложный, достижение. в действительности, мало кто понимает,
что требование элиминации кванторов в аксиоматике _очень_ сильное, оно
де факто ограничивает применимость результата случаями, где поле и так
присутствует в структуре в каком-то виде (как в strongly minimal множествах
в DCF). то есть нужно мало того, что ввести топологию на декартовых степенях
универсума, надо ещё доказать, что любое определимое множество --- конструктивно
в этой топологии. практически любая структура какого-то условно геометрического
происхождения, про которую только и известно, что она не локально модулярная,
не вписывается в этот подход, по крайней мере, никто не знает как.

в конце 80-х­­–начале 90-х было несколько попыток рассматривать разные редукции поля
и доказывать для них трихотомию (если быть точным, только последний, не
локально модулярный случай). редукции в основном были игрушечные, то есть
что-то типа поле, сложение и ещё что-то, не определимое только с помощью сложения,
что гарантирует немодулярность (что-то нелинейное). так вот даже когда есть сложение
доказать элиминацию кванторов непосредственно никто, кажется, и не пытался, она
получается только пост-фактум, когда выясняется, что структура поля
восстанавливается. если нет сложения, то вообще ничего неизвестно (по модулю
диссертации Рабинович, которой с таким же успехом могло бы и не быть, так
как никто не может её понять).

так что на самом деле трихотомия хрущовского-зильбера по состоянию дел на текущий
момент скорее такой успокоительный результат, основания. "всё так и должно быть".

5th November 2013

11:12am: получится красиво
вот, вот что такое кошерная комбинаторика!

http://mathoverflow.net/questions/96621/shimura-taniyama-weil-vs-grothendiecks-dessins

детские рисунки последние несколько дней постоянно всплывают в голове.
поразительная область, причём непонятно, то ли это тяжёлый гроб и поэтому
никто ею не занимается (за 30 лет после письма Гротендика --- единичные результаты
и единичные конференции), то ли стал известен правильный взгляд на эти вещи,
и внимание сместилось на другую технику, а я не в курсе просто.

Причём попытки найти ответы на простейшие вопросы оканчиваются ничем. Например, первое,
что приходит в голову после знакомства с сюжетом --- надо написать программу, которая по
данной поверхности рисует её детский рисунок и даже вообще все рисунки из орбиты Галуа
(поверхность можно задвать, скажем, уравнением). Результатами работы програмы обклеить
стены в спальне.

Получится красиво!

Так вот, даже непонятно, какой алгоритм такое может делать.
Под алгоритмом понимается что-то, работающее целиком в терминах алгебры; то есть должна
быть функция, которой даёшь уравнение, а она выдаёт матрицу смежности.

Самое поразительное, что в паре шагов от этого круга идей обитают такие вещи как:
пространства модулей кривых, квантовые группы (работа Дринфельда по "группе
Гротендика-Тейхмюллера"), квантовые теории поля (гипотеза Виттена).

21st October 2013

2:43pm: сорок лет спустя
Веллс скооперировался с Гарсия-Прадой и выпустил третье издание той
самой книжки
. С блэкджеком и расслоениями Хиггса.

30th September 2013

10:44pm: пересечения
собирался отправить в [info]seminar, но подумал, что без толку,
так как до конкретных вопросов я недоформулировал.

сохраню текст в порядке архивирования, чтоб проще было ссылаться.

пусть есть одномерное семейство кривых X на проективной плоскости. рассмотрим
всевозможные попарные пересечения кривых, они образуют двумерное семейство
нульмерных схем I (везде, кроме диагонали). хочется каким-то образом связать
трансверсальность пересечения произвольных X_t и X_s с какими-то
характеристиками I.

примитивный пример: рассматриваем замыкания аффинных кривых, заданных уравнением
y=f(x), где f полином степени 2. любые две кривые такого вида имеют две точки
пересечения на бесконечности, и ещё две других (если считать с кратностяим). пусть
у нас есть семейство таких кривых, все проходящие через одну точку P. тогда у любых
различных кривых из семейства есть два способа пересекаться не на бесконечности:
пересечение с кратностью 2 в P, и пересечение с кратностью 1 в P и в отличной точке.
в первом случае пересечение трансверсально, во втором не трансверсально.

хотелось бы как-то понять такие явления в общем контексте (определять трансверсальность,
считая количество точек пересечения).
чтобы хоть с чего-то конкретного начать, попробуем понять хотя бы произвольные коники.

какие задавать конкретные вопросы, я тут теряюсь. то есть по идее надо изучать отображение
P^5 \times P^5 -> Hilb^4(P^2), где P^5 пространство модулей коник, которое для двух коник
даёт их пересечение. Что известно про такое отображение? оно где-нибудь описано?
какие ключевые слова? впрочем, обобщить это видимо нереально, для кубик нужно рассматривать
Hilb^9, а это что-то уж совсем ужасное.

25th September 2013

12:38pm: cuspidal cubic
А вот мне [info]maxmornev обратил внимание на тот факт,
кто cuspidal cubic гомеоморфна своей нормализации (непрерывное биективное
отображение в хаусдорфов компакт --- гомеоморфизм). Это что же такое делается,
в CP^2 значит могут быть подпространства, которые топологически --- подмногообразия,
но комплексными подмногообразиями не являются? понятно, что они не обязаны, но я как-то
раньше не думал, что есть простые примеры такого.

и часто такое бывает, есть какая-то теория про такие вещи? там, взять любимую сингулярность
и сказать, многообразие ли она топологически

17th September 2013

1:52pm: дель Пеццо, GUTs, типы бран, однородные пространства
Нашёл давнишнее выступление Бондала про "стандартную модель", "браны",
"теорию струн", "производные категории", вот это всё. Даже и что-то понятно.
В любом случае познвательно, про связь ADE и дель Пеццо вот узнал.

Если в двух словах: стандартная модель и GUTs параметризуются группами Ли
и какими-то их представлениями (самая известная из них U(1)xSU(2)xSU(3)), так вот
диаграммы дынкина их получаются отрезанием вершин по одной от E_8. У групп есть
представления особого вида (minuscule representations), у которых если взять орбиту
старшего вектора, получится некоторое однородное пространство. Поверхности дель Пеццо
получаются раздутием P^2 в менее чем 8 точках, и каким-то вычислением с исключительными
дивизорами получается диаграмма дынкина --- что бы выдумали? --- одна из тех, которые
фигурируют в GUTs. У поверхности дель пеццо можно рассмотреть кольцо Кокса, это что-то
типа канонического кольца, только нужно рассмотреть все линейные расслоения, которые
генерируют Пикар, и взять прямую сумму. Proj этого дела вкладывается в то самое однородное
пространство. Вот так, круг замкнулся.

А что касается производных категорий и исключительных наборов... в пасмурный осенний
вечер можно видос и отсмотреть, под водочку, и узнать про исключительные наборы и браны.

Ещё вот статья обзорного толка из той же оперы (хотя, судя по всему, не буквально
про то же): Sharpe. Derived categories and stacks in physics

вот, забиваю теперь на всё и ухожу в анабелевые джунгли.

15th September 2013

2:50pm: von Neumann bicommutant
есть ли какое-то моральное объяснение von Neumann bicommutant theorem?

какая-то магия, откуда алгебра чует операторную топологию?

6th August 2013

12:51am: телега про "неабелеву теорию ходжа"
почти стыдно эту ерунду записывать, но ведь забуду же.

В общем подоплёка такая: посмотрим пристально на группу H^1(X, \C).
Это на самом деле касательное пространство к character variety,
которое классифицирует представления \pi_1(X) в \C^\times. Почему:
H^1(X,\C^\times) по Гуревичу и формуле универсальных коэффициентов то
же самое, что и Hom(\pi(X), \C^\times) (зацените, как перекликается с
теорией Куммера, кстати). Касательное пространство это вестимо
гомоморфизмы в алгебу Ли \C^\times. Само character variety можно
воспринимать как пространство модулей локальных систем со слоем \C.

Что говорит теория Ходжа? Говорит, что H^1(X,\C) разваливается в
прямую сумму H^0(X, \Omega^1) и H^1(X, O_X). Первая штука изоморфна
касательному пространству к якобиану (который
H^0(X,\Omega^1)^*/H_1(X,Z)), то есть описывает деформации
линейных расслоений, вторая --- Higgs field. То есть теория Ходжа
говорит нам, что пространство модулей плоских линейных расслоений и
"расслоений Хиггса" локально устроены одинаково. Расслоения Хиггса это
пары (E, \phi), где \phi элемент H^0(X, End(E) \otimes \Omega^1),
удовлетворяющий \phi \wedge \phi = 0 (то есть для линейный расслоений
просто 1-форма).

"Неабелева теория Ходжа" это когда рассматривают расслоения ранга >1,
вроде как структурная группа неабелева, там тоже пространства модулей
векторных расслоений с плоской связностью и расслоений Хиггса
локально устроены одинаководаже и глобально устроены одинково.
И называется это Kobayashi-Hitchin correspondence, а "неабалева теория Ходжа"
это маркетинговый термин, похоже. Кажется есть варианты утверждения
и для любых редуктивных групп, а не только для GL_n/SL_n.

26th July 2013

10:42am: реконструкция поля II
в Ярославле оказался интернет, поэтому пишу окончание истории.

Мы находимся в структуре конечной размерности. Пусть есть абелева
группа A и группа G, эффективно действующая на A такая, что A
G-минимальна. Тогда существует определимое поле K, структура
одномерного K-векторного пространства на A и вложение G в K^\times
совместимое с действием K^\times на A.

Для доказательства нам для начала надо найти бесконечную орбиту под
действием G. Такая существует: найдётся конечное количество точек, у
которых стабилизаторы пересекаются тривиально, на них
бесконечная G действует эффективно, значит, хотя бы одна из этих точек
должна лежать в бесконечной орбите. Назовём эту точку x.

Теперь, чтобы применить зильберовскую теорему, про которую шла речь
в предыдущем посте, и заключить, что подгруппа сгеднерированная Gx
определима, надо доказать, что Gx \cup 0 неразложимо (не разбивается
на конечное число подмножеств косетами подгрупп G). Это сразу видно,
если мы докажем, что проверять достаточно для G-инвариантных подгрупп A
(они все конечны по G-минимальности). По теореме Болдвина-Сакса, подробно
о которой я говорить здесь не буду, пересечение определимого семейства подгрупп
равно пересечению конечного их числа (здесь важно, что именно
_семейство_ определимо, то есть есть определимое отображение H -> T,
такое, что слои H_t --- группы). Пусть теперь H произвольная подгруппа
A. Пересечение всех её образов под действием G есть пересечение
конечного числа таких образов, значит, определимо и равно H', при этом
G-инвариантно, значит Gx \cap 0 не может разбиваться H' на конечное
число косетов, а значит и с помощью H не может разбиваться.

Итак, мы применяем теорему и о indecomposables и заключаем, что
генерируемая Gx \cup 0 подгруппа определима; она очевидно
G-инвариатна, значит равна всему A, более того, обозначая X:=Gx \cap 0,
A=XX. Таким образом A есть фактор свободного S(Z[G])-модуля
(симметрическое произведение) причём любой элемент представим в виде
(g,h) --- Z-коэффициенты все 0 или 1. Рассмотрим подкольцо R кольца
эндоморфизмов A (как абелевой группы), порождённое G. R является фактором
симметрического квадрата свободного модуля Z[G], причём элементы
тензорного квадрата с коэффициентами >1 в отношениях. То есть End(A)
кодируются G^2 фактор по некоторому определимому отношению
эквивалентности ( (a,b) экивавалентно (c,d) <=> (a + b) 1 = (c + d) 1
в модуле <=> ax + bx = cx + dx в A), при этом сложение и умножение
определимы.

Кольцо R целостно. Действительно, не может быть нетривиальной точной
последовательности R-модулей A \to A to A, так как образы и ядра
элементов --- определимые G-инвариантные подмножества A и как следствие
либо конечны, любо всё A. R --- целостное кольцо конечной
размерности.


Докажем, что у R нет нетривиальных идеалов. Действительно, любой идеал
R это определимая подгруппа аддитивной группы и по условию обрыва
убывающих цепей содержит минимальный (R "определимо артиново"). Тогда
для любого ненулевого x и минимального определимого идеала I, x I =
I. Значит x обратим. Так как R целостно, оно поле.

24th July 2013

8:47am: реконструкция поля I
делал доклад и разбирался, запишу по свежим следам.

Конечная цель доказать такую теорему Зильбера: пусть абелева группа G
действует на абелеву группу A так, что каждая G-инвариантная подгруппа
конечна. Тогда существует определимое поле K, структура K-векторного
пространства на A, и вложение G в мультипликативную группу K, такое,
что её действие на A совпадает с действием K^\times.

Для этого нам понадобится ряд технических результатов, кульминацией
которого является теорема об indecomposables.

Подмножество X группы G называется неразложимым (indecomposable), если
для любой подгруппы H, X содержится либо в бесконечном количестве
H-косетов, либо в одном. Это понятие важно вот почему: содержащее 0 и
не неразложимое подмножество может генерировать неопределимые
группы. Например, рассмотрим аддитивную группу и множество {0,1},
порождающую Z.

Теорема (Зильбер). Пусть {X_i}, i \in I --- множество неразложимых
подмножеств группы G, причём каждое X_i содержит 0. Тогда порождённая
{X_i} группа порождена конечным их поличеством, связна, определима и
<X_i_1, ..., X_i_k> = X_i_1 ... X_i_k X_i_1, ..., X_i_k ("любой
элемент получается в два шага").

Доказательство этой теоремы в свою очередь опирается на понятие
почти стабилизатора.

Пусть G дествует на определимое множество Y, и X определимое
подмножество Y. Рассмотрим подгруппу группы G, которая "почти не
сдвигает" X, то есть такие g \in G, что размерность симметрической
разности gX и X строго меньше размерности X. Это действительно
подгруппа, причём определимая, что следует из определимости
размерности. Будем называть эту группу почти стабилизатором X.

Лемма 1: рассмотрим действие группы G на себе (левыми)
сдвигами. Размерность почти стабилизатора X не превосходит
размерности X.

Обозначим почти стабилизатор H. Докажем, что множество X содержит
множество которое почти совпадает с косетом H. Предположим, что не
содержит, тогда все косеты H пересекаются с X по множеству размерности
< dim H. Пересечение почти стабилизаторов всех X \cap aH должно быть
собственной подгруппой H по предположению, значит любой элемент h вне
этого пересечения обладает свойством dim hX \Delta X = dim X, что
противоречит определению H.

Лемма 2: если два подмножества X,Y группы G имеют дополнения меньшей
размерности, то XY=G.

Рассмотрим дополнение X, назовём его A, и рассмотрим почти
стабилизатор A. Так как размерность dim A < dim G, то найдётся элемент
y \in Y, не входящий в H, а значит dim yA \cap A < dim A. Применяя это
рассуждение индуктивно к A \cap yA, получим что A покрывается конечным
количеством сдвигов y_i A. Следовательно, G - XY пусто.

Доказательство теоремы про indecomposables:

Из-за конечности ранга найдётся конечное подмножество индексов такое,
что для Y=<X_i_1, ..., X_i_k>, dim Y = dim X_j Y для любого
j. Рассмотрим почти стабилизатор H какого-нибудь неприводимого
подмножества Y. Если H разбивает X_i на бесконечное количество
пересечений с H-косетами a_j H, то X_i Y содержит множество, которое
почти равно объединению непересекающихся a_j Y, то есть размерность
больше размерности Y, противоречие. Значит X_i разбивается косетами H
на конечное число кусков, а так как X_i indecomposable и содержит
единицу, то X_i содержится в H.

Как следствие, Y тоже содержится в H, а поскольку какое-то его
неприводимое подмножество почти фиксируется H, то Y фиксируется H
почти совпадает H. По Лемме 2, H=YY.

[окончание запощу видимо по возвращении из Ярославля]
Powered by LJ.Rossia.org