Пусть a_1, ... a_n алгебраически независимы над Q. Докажем, что они алгебраически независимы над A. Предположим обратное, т.е. А[X_1,...X_n] содержит многочлен f такой, что f(a_1,...,a_n) = 0. Найдем поле К, такое, что К - конечномерное Галуа-расширение Q, содержащее коэффициенты f. Пусть Gal(K/Q)={1,\eta_2,...\eta_k}. Обозначим, g=f \eta_2(f) ... \eta_k(f). тогда для любого i≤k \eta_i(g)=g, следовательно g принадлежит к Q[X_1,...X_n]. Имеем g(a_1,...,a_n) = f(a_1,...,a_n)... = 0, т.е a_1,...,a_n алгебраически зависимы над Q.

Establishing of the relevance of this comment is left as exercise for the reader.