Арифметика для взрослых
Решение задачи:


Очевидно, что вопрос сводится к тому, является ли дискриминант этого уравнения квадратом целого числа.
Очевидно так же, что дискриминант - число нечетное и может быть квадратом только нечетного числа.
Докажем маленькую лемму: квадрат нечетного числа при делении на 8 имеет остаток равный 1.
(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1
n(n+1) делится на 2, следовательно 4n(n+1) делится на 8.
Доказано.
Почему на 8? А почему бы и нет?
Теперь если мы докажем, что у дискриминанта какой-то другой остаток от деления на 8, то мы докажем, что он не является квадратом нечетного числа.
b=2n+1
a=2m+1
c+2k+1

D=(2n+1)^2-4(2m+1)(2k+1)=4n(n+1)+1-16mk-8(m+k)-4=4n(n+1)-16mk-8(m+k)-3
Делимость на восемь первого члена мы уже показали, делимость второго и третьего очевидна.
Следовательно остаток равен 5.
Типо, все.