Решение задачи:

Действительно, эта неправильная формула верна лишь для прямоугольников.
Доказывается методом пристального взгляда на чертеж.
Рисуем четырехугольник ABCD, в котором полезно провести диагонали.
Что будет, если мы сложим площади треугольников DAB, ABC, BCD и CDA?
Правильно, 2S.
Раскроем скобки в нашей неправильной формуле следующим образом:
(a+c)(b+d)/4=(1/2)*(ab/2+ad/2+cb/2+cd/2)
Нетрудно заметить, что каждое слогаемое в большой скобке правой части меньше либо равно площади соответствующего треугольника (чтобы было равенство нужно домножить на синус соответствующего угла, который меньше либо равен единице) и равенство достигается только в случае, когда соответствующий угол является прямым.
То есть, наша формула меньше либо равна площади четырехугольника и равенство достигается только в том случае, когда все углы являются прямыми.

Решение задачки простенькое. Интересно и показательно другое.
Неправильность этой формулы позволяла древним относительно справедливо делить землю.
На разумных участках она дает неплохой приблизительный результат.
Формула приносила пользу, на ней была основана технология.

Некоторые современные гуманитарные концепции очень напоминают эту смешную формулу.
И, кстати, чем ближе они кажутся к естественным наукам, тем больше напоминают.
Самый яркий пример - соционика.
Вроде и "работает", "пользу" приносит, а в концептуальном плане это тупик.
А выбросить жалко, на математике ведь замешана и синергетикой пахнет.

ЗЫ. И еще можно отметить тот факт, сближающий древнюю математику с современной соционикой, что теория строго верна там, где она не нужна.
Что не отменяет, как уже было сказано, практической пользы.