Если для математиков - то не уверен, что плохо. Если для физиков/программистов и т.п. - то да, плохо.

В конце концов ведь закрытие строится через те же последовательности Коши, т.е. студент знает, что действительное число - это последовательность Коши рациональных чисел. А в другом популярном подходе он знает, что действ. число - это разрез Дедекинда. Это чуть более интуитивно, но особой разницы нет. Так или иначе, какой-то строгий подход к действ. числам должен быть, мне кажется. Это всё же не школа.

Я уже не помню для кого это было. Меня поразило употребление понятия упорядоченного поля которое я узнал лишь читая учебник алгебры в целях самообразования. По-моему, это слишком высокий уровень абстракции для начинающих, впрочем, может быть я ошибаюсь и это не слишком сложно.

Говоря о закрытии, я думал о построении в стиле Дедекинда, по-моему там было так.

По-русски говорят "замыкание" (а не "закрытие") и "сечение Дедекинда".

Спасибо! Да, ужасно у меня с русской терминологией.

А почему avva не только повторяет, но и ОПРАВДЫВАЕТСЯ за ошибку Обломова? Словно Обломов - это avva.
Неспроста, ох неспроста :)

Нам давали через сечения Дедекинда. Это красиво, но довольно долго.

Я в своих лекциях определяю действительные числа аксиоматически, как упорядоченное поле с аксиомой полноты: каждое ограниченное снизу м-во имеет точную нижнюю грань. Это - наиболее экономный подход, позволяющий быстро перейти к более содежательным вещам. Остается, правда, вопрос о существовании, но он остается в том или ином виде при любом подходе.

Ты при этом доказываешь единственность с точностью до изоморфизма такого поля или нет?

Если нет, то мне не очень понятно, почему лучше начинать с аксиом, ведь если всё равно так или иначе надо доказать существования, то все нужные аксиомы из построения вытекают. Если же доказать единственность, то она как бы оправдывает такой выбор аксиом, а не другой, объясняет, зачем это нужно.

Я не доказываю ни существование, ни единственность поля действительных чисел. Причин тому несколько.

1. Существование невозможно доказать с нуля. Разумеется, можно начать с натуральных чисел с аксиомами Пеано и доехать до действительных. Но сучествование полугруппы натуральных чисел тогда надо постулировать. Мне проще сразу постулировать существование поля действительных чисел, тем более, что это хорошо согласуется с геометрической интуицией.

2. Единственность доказать несложно, но надо отметить, что содержательный математический анализ СОВЕРШЕННО НЕ ЗАВИСИТ от единственности поля действительных чисел.

Это были объективные причины. А вот субъективные.

3. Уровень студентов очень низок, и для большинства из них даже усвоить формулировку существования/единственности - непосильная задача.

4. Курс велик, а это тема факультативна. Нет времени.

При этом, несмотря на 3., я формулирую существование (в виде постулата) и единственность (в виде недоказываемой теоремы).

Для математиков - необходимо. Для инженеро́в и прочих колхозников - обойдутся.

Кошмарный Calculus в City College of San Francisco я успешно компенсировал чтением курса анализа Максвелла Розенлихта, где строго дается понятие вещественного числа.