(R,+,*) <-> (R⁺,*,соответствующая операция)

преобразование - e^x

или нужны те же самые операции?

Да, должны быть те же операции, а иначе понятно, что для любого подмножества ֳR мощности равной R можно определить соотв. операции.

Конструктивного примера, по-моему, не существует. Я где-то видел это утверждение доказанным, не помню где. Но представить себе это можно так:

Взять какой-либо автоморфизм C, каковых очень много (кроме сопряжения и тождественного автоморфизма все они разрывны). Например, если представить, по-вашему, C как Q(X), то пусть a и b -- два элемента из X. Тогда перестановку a <--> b можно продолжить до некторого автоморфизма C=Q(X). Образ R при этом автоморфизме и будет пример такого подполя.

Да, я это и имел в виду в той записи (любое отображение X на себя можно расширить до автоморфизма C).

Я только сейчас понял, почему странно (удивительно), что у R нет автоморфизмов, а у C их много. Посмотрим, как это доказывается -- например, тут:
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594f.html
(p.81, remark 8.18)
Берётся базис трансцендентности X поля C над Q. Тогда C можно представить как C=closure(Q(X)). Любая перестановка множества X-->X' порождает изоморфизм Q(X)-->Q(X'), поскольку расширения Q(X), Q(X') -- чисто трансцендентные, т.е. изоморфные полям рациональных функций от множеств переменных X и X' соответственно. После чего этот изоморфизм Q(X)-->Q(X'), беря алгебраические замыкания, можно продолжить до изоморфизма одной копии C в другую, то есть, до автоморфизма C.

Казалось бы, это же рассуждение можно применить и к R. Рассмотрим базис трансцендентности X (максимальное алгебраически независимое подмножество) R над Q. Тогда можно записать: Q -- Q(X) -- R, где расширение Q -- Q(X) чисто трансцендентное, а Q(X) -- R -- алгебраическое. Если теперь применить какую-нибудь перестановку множества X, то она индуцирует изоморфизм Q(X)-->Q(X'), причём поле Q(X') также лежит в R. Вот только дальше, до R-->R, этот изоморфизм не расширяется, поскольку R не получается из Q(X) в результате какой-либо естественной операции, как, например, алгебраическое замыкание. Поэтому вывода о том, что у R будет 2^|X| автоморфизмов, сделать мы не можем, и, как показывает ваше доказательство, их у него кроме тождественного нет вообще.