Разъяснять не надо, некоторое чтение в энциклопедии произошло, но все равно непонятно.

Сейчас я проголосовал, и оказалось, что я на данный момент всего один, кто ответил "нет" :)

На самом деле, "честнее" было бы сказать, что я не знаю (так как я действительно не знаю). Но раз уж было спрошено в форме "как вы думаете", то я ответил так, как думаю. Иными словами, мне кажется, что при некой "естественной" формализации теории множеств, придут всё-таки к отрицательному ответу. Я где-то даже видел рассказы о неком "проекте", где ставится целью доказать, что континуум -- это "алеф два", но с этими идеями я знаком только "понаслышке".

Кстати говоря, список ответов не содержит некоторых мнений, которые вполне могли бы быть высказаны. Например, есть люди, которые считают, что сам по себе вопрос, поставленный в "абсолютной" форме, не имеет смысла. В начале 60-х годов так вообще говорили все, а сейчас хотя вера в "единственно верное" (в лице ZFC) пошатнулась, но многие продолжают думать по-старому.

Далее, возможна и такая версия теории множеств, в рамках которой континуум вообще не допускает полного упорядочения. Почему бы и нет? Сама конструкция выглядит достаточно "противоестественной".

Витя, а вы ощущаете внутренний дискомфорт он неизвестности в этом месте? Или это мало/совсем никак не влияет на общую картину мира, в которой приходится работать?

Мне легче: в моём универсуме никто не подвергает сомнению истинность Центральной Гипотезы, но все ревниво смотрят друг на друга в тот момент, когда кто-то подаёт заявку на Существенное Продвижение к Цели ;-)

Дискомфорт я ощущаю, но причина здесь не в том, что мы чего-то не знаем. Скажем, про истинность гипотезы Римана мы тоже ответа не знаем, но это как бы нормальное положение дел в науке.

Просто есть какие-то вещи, сделанные "на века", и понятно, что они такими останутся. А ZFC -- это чисто "инженерная" поделка, некое "латание дыр". То есть она не производит впечатление чего-то "фундаментального", а основной дискомфорт даже не от этого, а от неумения (или нежелания?) работать с основаниями как следует. Получилось что-то типа "нарисуем -- будем жить".

ZFC - может, и не самая стройная или богодухновенная аксиоматика, и можно оспаривать каждый отдельный столп.

Но ведь по сути есть же ощущение, что нам её хватает для практических нужд, - если честно, я не в состоянии уследить за логиками, подкапывающимися вглубь фундамента. Они между собой может и обсуждают, можно ли эти два гвоздя заменить на один шуруп, но уже на уровне ground floor активность этих подвальных гномов почти незаметна.

Мне вот ровно сейчас приходится решать, является ли теория Рамсея в Очень Больших Множествах (начиная с алеф-2, кажется) осмысленным объектом для изучения: человек пять в мире, которые понимают, о чём идёт речь, согласно кивают головами, мол, самый цимес, самая мякотка, а я в сумленьях... Если б этих экспертов хотя бы на алеф-ноль набралось, мне проще было б ;-)

Достаточность для практических нужд -- это весьма слабый аргумент, так как вообще всё то же самое можно делать безо всякой аксиоматики, как это и делалось изначально. Принятие любой аксиоматики связано с рядом ограничений. В ZFC есть очень много такого, что не "мотивировано" вообще никак. Ясно, например, что уже упорядоченные пары суть некие "самостоятельные" объекты, а реализация их в виде множеств -- это "трюк" (пусть и красивый сам по себе), или некое "кодирование". Далее, вот есть понятие "свойства", и его можно рассматривать как нечто "первичное". Тот принцип, что всякому свойству "элементов" соответствует некое множество, с интуитивной точки зрения более чем обоснован. Гораздо лучше, чем всё остальное. И предлагается от этого требования отказаться, заменив его на нечто совершенно искусственное, где все свойства ни с того, ни с сего вдруг оказываются выразимыми в теоретико-множественном языке. Это с чего бы вообще так? Не говоря о том, что к ним фактически применяется отвергаемая "аксиома свёртывания". Ну и ещё "до кучи" всего. Мне, например, ясно, что аксиому свёртывания нужно посмертно реабилитировать в первую очередь -- тем более, что никакого парадокса Рассела из неё не следует. Этот момент я неоднократно разъяснял "на просторах" ЖЖ.

Косвенные "звоночки" также поступают от тех вопросов, где никакого разрешения в рамках предлагаемой теории нет и не предвидится -- это всякие там "большие кардиналы" и прочее.

Поясню-ка я, почему я думаю, что гипотеза верна.

Предположим, там существовала бы естественная промежуточная мощность. Тогда в математической практике наблюдался бы следующий феномен. Имелись бы какие-то естественные подмножества R, про которые было бы неизвестно, какова их мощность. Вот стоит такая раздражающая открытая проблема, какова мощность каких-нибудь каппа-множеств, никто не знает. Причём тут важно, что проблема по сути, не то, что всем понятно, что ответ такой, просто доказать не получается, а объективно непонятно.

Возможно, конечно, что такие множества пока не нашли, а завтра найдут. Но это маловероятно. Это не какая-то эзотерическая область, соответствующие вопросы постоянно возникают в математической практике, да в общем это всё "доступно любителю", ну или школьнику, если честно. (Вынуждение по Феферману, наверное, недоступно, но его и не надо, это про вывод в ZF, что уже сложно.)

В эпоху построения теории меры люди соответствующими вопросами сильно интересовались, и Лебег с Каратеодори что-нибудь бы нашли.

Вопрос о том, есть ли неизмеримое по Лебегу множество мощностью меньше континуума неразрешимый, если я правильно помню. (множество меньше континуума может иметь меру 0 или быть неизмеримым.)

Хм. Ну да -- счётные множества все измеримы, а вопрос о том, есть ли мощности между ними и континуумом неразрешим в ZF. Я что-то пропустил?

Может быть так, что между счетными и континуумом есть множества, но они все имеют меру 0 (так же, как счетные).

Может, проблема в том, нельзя ли из отсутствия наличия биекции с N вывести напрямую что-нибудь про меру?

Как раз скорее наоборот. Трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических, однако обнаружить трансцендентное число в математической практике практически невозможно.

Точно так же истинные, но недоказуемые утверждения (гёделевского типа) почти наверняка никогда не встретятся "в математической практике". Во-первых, потому, что мы об этом не узнаем :-), а во-вторых, потому, что они, скорее всего, будут иметь вид "такой-то полином от стапиццот переменных с целыми коэффициентами не имеет натуральных корней", а сам этот полином имеет длину такую, что видимой вселенной не хватит, чтоб его явно записать.

обнаружить трансцендентное число в математической практике практически невозможно.
?? В математической практике практически невозможно обнаружить число π?

Сколько их, таких трансцендентных, было обнаружено за 3000 лет математической практики? ;-)

\sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} ещё :-)

Жухала он, этот Лиувилль! ;-)

Ну да :-)

Трансцендентные числа как раз пример в мою пользу :-)

Хозяин журнала меня опередил и сказал про пи. Вот именно, оно появилось на заре математической практики, и с ним была связана наприятная открытая проблема, его как-то совершенно не получалось нарисовать. Античные математики на автомате всё пытались нарисовать циркулем и линейкой, а тут не выходило. Трудно было догадаться, что логически возможно, чтобы вообще нельзя было нарисовать. Когда до этого додумались и придумали, как такую невозможность в приципе можно было бы доказывать (теорема Лиувилля там), то про пи довольно быстро всё доказалось.

Посмотрим на мощности по аналогии. Мы на автомате ставим вопрос о мощности всего, что нам попадётся. Нам понятно, как это возможно, чтобы решения не было. А примеров не видно.

Как раз сейчас прочитал в "Set theory" Jech-а - вот такой практический вопрос: существует ли расширение меры Лебега на все подмножества [0,1] или шире - существует ли вероятностная мера, определенная на всех подмножествах какого-то множества, такая, что у каждого множества из одного элемента мощность равна нулю. Оказвается, если да то либо существует измеримый (т.е. ОЧЕНЬ-ОЧЕНЬ большой) кардинал, либо существует слабо недостижимый кардинал, меньший или равный континууму (т.е. не просто есть несчетные мощности, меньшие континуума, а их ОЧЕНЬ много). Йех пишет что вся тема "больших кардиналов" появилась из этого "практического" вопроса.
UPD - подумал над что прочел и понял, что если такая мера есть на [0,1], то вторая возможность (есть слабо недостижимый кардинал меньший континуума) должна осуществляться (первая возможность соответствует тому, что есть такая вероятностная мера на ОЧЕНЬ-ОЧЕНЬ большом множестве).