Поясню-ка я, почему я думаю, что гипотеза верна.

Предположим, там существовала бы естественная промежуточная мощность. Тогда в математической практике наблюдался бы следующий феномен. Имелись бы какие-то естественные подмножества R, про которые было бы неизвестно, какова их мощность. Вот стоит такая раздражающая открытая проблема, какова мощность каких-нибудь каппа-множеств, никто не знает. Причём тут важно, что проблема по сути, не то, что всем понятно, что ответ такой, просто доказать не получается, а объективно непонятно.

Возможно, конечно, что такие множества пока не нашли, а завтра найдут. Но это маловероятно. Это не какая-то эзотерическая область, соответствующие вопросы постоянно возникают в математической практике, да в общем это всё "доступно любителю", ну или школьнику, если честно. (Вынуждение по Феферману, наверное, недоступно, но его и не надо, это про вывод в ZF, что уже сложно.)

В эпоху построения теории меры люди соответствующими вопросами сильно интересовались, и Лебег с Каратеодори что-нибудь бы нашли.

Вопрос о том, есть ли неизмеримое по Лебегу множество мощностью меньше континуума неразрешимый, если я правильно помню. (множество меньше континуума может иметь меру 0 или быть неизмеримым.)

Хм. Ну да -- счётные множества все измеримы, а вопрос о том, есть ли мощности между ними и континуумом неразрешим в ZF. Я что-то пропустил?

Может быть так, что между счетными и континуумом есть множества, но они все имеют меру 0 (так же, как счетные).

Может, проблема в том, нельзя ли из отсутствия наличия биекции с N вывести напрямую что-нибудь про меру?

Как раз скорее наоборот. Трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических, однако обнаружить трансцендентное число в математической практике практически невозможно.

Точно так же истинные, но недоказуемые утверждения (гёделевского типа) почти наверняка никогда не встретятся "в математической практике". Во-первых, потому, что мы об этом не узнаем :-), а во-вторых, потому, что они, скорее всего, будут иметь вид "такой-то полином от стапиццот переменных с целыми коэффициентами не имеет натуральных корней", а сам этот полином имеет длину такую, что видимой вселенной не хватит, чтоб его явно записать.

обнаружить трансцендентное число в математической практике практически невозможно.
?? В математической практике практически невозможно обнаружить число π?

Сколько их, таких трансцендентных, было обнаружено за 3000 лет математической практики? ;-)

\sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} ещё :-)

Жухала он, этот Лиувилль! ;-)

Ну да :-)

Трансцендентные числа как раз пример в мою пользу :-)

Хозяин журнала меня опередил и сказал про пи. Вот именно, оно появилось на заре математической практики, и с ним была связана наприятная открытая проблема, его как-то совершенно не получалось нарисовать. Античные математики на автомате всё пытались нарисовать циркулем и линейкой, а тут не выходило. Трудно было догадаться, что логически возможно, чтобы вообще нельзя было нарисовать. Когда до этого додумались и придумали, как такую невозможность в приципе можно было бы доказывать (теорема Лиувилля там), то про пи довольно быстро всё доказалось.

Посмотрим на мощности по аналогии. Мы на автомате ставим вопрос о мощности всего, что нам попадётся. Нам понятно, как это возможно, чтобы решения не было. А примеров не видно.

Как раз сейчас прочитал в "Set theory" Jech-а - вот такой практический вопрос: существует ли расширение меры Лебега на все подмножества [0,1] или шире - существует ли вероятностная мера, определенная на всех подмножествах какого-то множества, такая, что у каждого множества из одного элемента мощность равна нулю. Оказвается, если да то либо существует измеримый (т.е. ОЧЕНЬ-ОЧЕНЬ большой) кардинал, либо существует слабо недостижимый кардинал, меньший или равный континууму (т.е. не просто есть несчетные мощности, меньшие континуума, а их ОЧЕНЬ много). Йех пишет что вся тема "больших кардиналов" появилась из этого "практического" вопроса.
UPD - подумал над что прочел и понял, что если такая мера есть на [0,1], то вторая возможность (есть слабо недостижимый кардинал меньший континуума) должна осуществляться (первая возможность соответствует тому, что есть такая вероятностная мера на ОЧЕНЬ-ОЧЕНЬ большом множестве).