Другое доказательство формулы Пика (
http://lj.rossia.org/users/oort/532030.html)
1) Сначала одно наблюдение:
Пусть \omega -- 1-форма на C, быть может с умеренными особенностями, так чтобы интеграл по кусочно-гладкой простой кривой, проходящий через особенности, был определен в смысле
главного значения Коши.
Если \omega дважды-периодическая по Z^2 в C и инвариантна при замене z -> -z то интеграл \omega по контуру P,
который является ломаной состоящей из отрезков с вершинами в Z^2, равен нулю.
Это потому что можно взять отраженный путь -P и заметить что интеграл по нему будет такой же в силу симметричности формы. C другой стороны, сумма интегралов по P и по -P равна нулю в силу дваждыпериодичности \omega потому что любой направленный отрезец I с целочисленными началом и концом паралельно переносится в обратный -I с противоположной ориентацией и все члены взаимно сократятся.
2) Теперь нужно увидеть что разница между площадью области окруженной простой кривой и суммой целых точек внутри и на кривой и внутренних углов контура проходящих через точки решетки выражается интегралом формы из пункта (1).
Именно, возьмем мероморфную форму fdz у которой полюса с вычетом 1 в узлах решетки (ее можно построить явно из p-функции Веерштрасса или применить Римана-Роха на торе) и возьмем ее симметризацию если необходимо. Интеграл этой формы считает число целых точек внутри контура, если контур не проходит по решетке. Если проходит, то он считает число целых точек внутри и на контуре плюс сумму внутренних углов в радианах контура в точках решетки.
С другой стороны чисто мнимая часть интеграла \bar z dz считает площадь области ограниченной контуром.
int Im (\bar z - f)dz по ломаному контуру с целочисленными вершинами по пункту (1) равно нулю, значит площадь минус число целых точек внутри и на контуре минус сумма внутренних углов в целочисленных точках контура равна нулю.
Дальше формула Пика следует точно как в предыдущем посте. Я тотально игнорировал множители типа 2 pi i, их нужно правильно расставить.
Current Music: Fancy Rosy - Punk Police