| Θεαίτητος |
Nov. 17th, 2016|10:08 pm |
Раньше почему-то не знал, а теперь зачем-то знаю, что нечетное число является
квадратичным вычетом по модулю всех степеней двойки тогда и только тогда, когда
оно сравнимо с 1 по модулю 8. Вот откуда.
Диалог Теэтет, 147d:
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ: περὶ δυνάμεών τι ἡμῖν Θεόδωρος ὅδε ἔγραφε, τῆς τε τρίποδος πέρι καὶ
πεντέποδος ἀποφαίνων ὅτι μήκει οὐ σύμμετροι τῇ ποδιαίᾳ, καὶ οὕτω κατὰ μίαν
ἑκάστην προαιρούμενος μέχρι τῆς ἑπτακαιδεκάποδος: ἐν δὲ ταύτῃ πως ἐνέσχετο.
ТЕЭТЕТ: Вот Феодор начертил нам что-то о величинах <= сторонах>, о [сторонах]
трёхфутового и пятифутового показав, что несоизмеримы со [стороной]
однофутового, и так по одному дойдя до семнадцатифутового: тут почему-то
остановился.
Почему Феодор остановился? Вот тут предлагают объяснение, почему,
и показывают, как нарисовать доказательство для маленьких чисел.
Возможно, дело в том, что Феодор "знал" только одно простое число, двойку, и
обобщал пифагорейское доказательство иррациональности корня из 2. Легко
понять, что для того, чтобы такое можно было провернуть с числом k, k должно
быть квадратичным невычетом по модулю какой-то степени двойки. Про четные числа
можно доказать отдельно, а среди нечетных < 17 только 9 - квадратичный вычет по
модулю всех степеней двойки, но 9 и так квадрат.
По-моему очень забавно. |
|