прелестно

Фигня, теория множеств лучше, разве забудешь красоту: Гомоморфный образ группы изоморфен фактор-группе по ядру гомоморфизма.

Теорема о гомоморфизме -- это алгебра, а не теория множеств :)

Точно, виноват :-) , для меня это пять жизней назад, группы, кольца, поля...

A chto takoe "i-кратное итерированное коумножение от d равно нулю"?
T.e., ehto "standard" ili "Capelly" co-identity?
I kak voobshche ehtoi dokazatj?....

Verno li, chto v co-nilponetnoj koalgebre ljubaja konechno porozhdennja pod-koalgebra konechnomerna?

Любая коассоциативная коалгебра является объединением своих конечномерных подкоалгебр, это такой несложный факт. Поэтому, кстати, теория коалгебр и ко(контра)модулей оказывается намного проще, чем теория колец и модулей.

Двойственное векторное пространство к конечномерной коалгебре является конечномерной алгеброй (и наоборот). Коалгебра (без единицы) конильпотентна, если любая ее конечномерная подкоалгебра двойственна к нильпотентной конечномерной алгебре.

Извините, непонятно --- почему
"любая коассоциативная коалгебра является объединением своих конечномерных подкоалгебр"?
Разве в свобоdной 1-порожденной коалгебре есть конечномерные под-коалгебры?
Что ехто вообшче такое --- подкоалгебра?

Подкоалгебра D в коалгебре C -- это такое векторное подпространство, что коумножение от D попадает в D\otimes D внутри C\otimes C. Подкоалгебры в коалгебрах соответствуют двусторонним идеалам в алгебрах. Например, можно рассмотреть коалгебру многочленов от одной переменной x (она же косвободная коалгебра с одной кообразующей) с коумножением x^n\mapsto \sum_{i+j=n} x^i\otimes x^j. Тогда для любого n линейная оболочка 1,x,...,x^n является подкоалгеброй, как очевидно. Двойственное векторное пространство к этой коалгебре является алгеброй формальных степенных рядов k[[y]] от одной переменной y=x^*, а ортогональное подпространство к описанной подкоалгебре есть идеал y^{n+1}k[[y]].

Или, лучше сказать, подкоалгебры в коалгебрах соответствуют факторалгебрам алгебр. Подкоалгебра с базисом 1,x,...,x^n в коалгебре многочленов от x соответствует факторалгебре k[[y]]/(y^{n+1}) алгебры k[[y]].

Spasibo!

i-кратное итерированное коумножение -- это отображение C -> C\otimes C\otimes ... \otimes C (i раз), соответствующее отображению i-кратного умножения A\otimes A\otimes ... \otimes A -> A для ассоциативных алгебр. То есть i-кратное коумножение равно нулю -- это котождество, соответствующее тождеству x_1...x_i=0.

Da, konechno! izvinite za glupyj vopros -- ne privyk k associativnym koalgebram...