Monday, February 22nd, 2010

Time	Event
1:56a	Плоская кошулевость и замена базового кольца Да, действительно. Пусть A -- неотрицательно градуированное кольцо, R=A0 -- его нулевая компонента, и S->R -- морфизм колец. Предположим, что все компоненты An с n>0 являются плоскими левыми R-модулями и плоскими левыми S-модулями. Тогда кольцо A = R ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ ... кошулево тогда и только тогда, когда кольцо B = S ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ ... кошулево. Мне кажется, что я могу доказать это обычными решеточными методами в рамках того, что изложено в соответствующем начальном разделе книжки про квадратичные алгебры. (Не говоря об обходном категорном аргументе из http://posic.livejournal.com/381980.html .) А мой научный руководитель А.Б. не верил в это (пятнадцать лет назад)! Впрочем, это-таки теорема, не тавтология. В смысле -- не прямое следствие определений, а утверждение, которое нужно доказывать. P.S. Вот два примера. 1. Пусть R -- прямая сумма конечного числа копий основного поля k, кольцо A является алгеброй над k, S=k. Тогда из совсем простых решеточных соображений видно, что кошулевость алгебр A и B эквивалентна. Это и есть тот пример, который у меня был 15 лет назад. 2. Просто случайный пример: пусть An=R для всех n, так что A есть кольцо многочленов от одной переменной R[t]. Пусть при этом R -- алгебра над полем k=S. Тогда ясно, что алгебра A кошулева, и очевидное рассуждение с факторизацией по центральному элементу степени 1 показывает, что алгебра B кошулева. Update: ну, или просто применить S ⊗BL R = (S ⊗BL A) ⊗AL R, как водится (вместо решеток). (Comment on this)
6:47p	Неплоская кошулевость и кошулевость над абсолютной базой Ввиду результатов предыдущих двух постингов (которые по-прежнему представляются правильными), вопрос о неплоской кошулевости можно интерпретировать как вопрос о (заведомо плоской по определению) кошулевости над абсолютным базовым кольцом, оно же поле из одного элемента, F1. Последняя идея как раз удачно по духу соответствует идее матричных умножений Масси, бимодули над F1 можно представлять себе как множества матриц. Исходя из этих соображений, попробуем дать более удачную формулировку ответа из постинга про неплоский комплекс Кошуля. (Хотелось бы еще иметь аналогичную абсолютную бар-конструкцию и дистрибутивность абсолютной решетки.) Прежде всего отметим, что в описанной по ссылке ситуации кольцо диагональных когомологий An=Extn(R,R(n)) всегда квадратично. Наоборот, любое квадратичное кольцо может быть кольцом диагональных Ext'ов в такой категории; при этом можно добиться, чтобы Ext1 и Ext2 вне диагонали отсутствовали. В последнем случае, категория G однозначно восстанавливается по кольцу A, а именно, она есть категория конечно порожденных и проективных над R градуированных комодулей над градуированным кокольцом C над R, квадратично двойственным к A. Поэтому, если предполагать кольцо A квадратичным, то ответы на два вопроса, сформулированные по ссылке, совпадают. Этот ответ формулируется ниже в терминах некого "матричного комплекса Кошуля" для A. Он не должен зависеть от R=A0, т.е., должен заменяться на эквивалентный при замене R на кольцо целых чисел. Кроме того, он должен быть лево-право симметричен. Условие квадратичности кольца A этот ответ в себя включает как условие "точности" в двух крайних членах "комплекса" (при m=0 и 1; см. далее). Итак, пусть M1, ..., Mm -- прямоугольные матрицы, составленные из элементов A1, причем линейные размеры этих матриц соответствуют одни другим, так что их можно компоновать в выписанном порядке, т.е. произведения MiMi+1 имеют смысл как матрицы с компонентами из A2. Предположим к тому же, что все эти произведения равны нулю. Пусть N -- прямоугольная матрица, составленная из элементов An, причем линейный размер ее таков, что произведение MmN имеет смысл как матрица с компонентами из An+1; предположим, что и это произведение тоже равно нулю. Тогда должны существовать прямоугольные матрицы Ki с компонентами из R, матрицы M'i с компонентами из A1, матрица P с компонентами из A1, и матрица Q с компонентами из An-1, такие что M1 = M'1K1, K1M2 = M'2K2, ..., Km-1Mm = M'mKm, KmN = PQ, и M'iM'i+1 = 0 для всех i, M'mP = 0. (Comment on this)
7:29p	К чему все это А если кого-нибудь, к примеру, интересует, к чему направлена вся эта последняя деятельность про фильтрованную категорию, градуированную категорию, и неплоскую кошулевость, то ответ такой, что конечной целью является K(π,1)-гипотеза для мотивов Артина-Тейта с конечными коэффициентами, см. пункты 1б) и 8а) списка задач (отметим, что пункт 1а) по-прежнему представляется явно неразрешимым). (2 Comments | Comment on this)

<< Previous Day

2010/02/22 [Calendar]

Next Day >>