Неплоская кошулевость
Развитие http://posic.livejournal.com/379662.html

Во-первых, вопрос по ссылке, кажется, не самый удачный из возможных. Самое интересное не то, при каких условиях на Extⁿ(R,R(n)) отсутствие внедиагональных Ext¹ и Ext² влечет отсутствие внедиагональных высших Ext'ов. Самое интересное, что можно сказать о градуированном кольце Extⁿ(R,R(n)) при условии, что внедиагональных Ext'ов нет. Какие градуированные кольца можно так получить? В отличие от вопроса по ссылке, к этому более интересному вопросу не очень понятно, как подступиться. Если тут и могут помочь операции Масси, то только при какой-то более возвышенной точке зрения.

Что касается вопроса по ссылке, то детали надо проверять, но предположительный ответ такой. Во-первых, почему Extⁿ(R,R(m)) порождаются операциями Масси из Ext¹? Вот почему: всякий такой Extⁿ есть композиция Ext^n-1(R,X) и Ext¹(X,R(m)), для некоторого объекта X из G. На объекте X есть фильтрация с присоединенными факторами из G_i; с этой фильтрацией связана последовательность классов Ext¹ между присоединенными факторами. Вот наш класс Extⁿ и является произведением Масси всех этих классов Ext¹ между присоединенными факторами (стоящих посередине), класса Ext¹ из того присоединенного фактора, который является подобъектом X, в R(m) (c одного из краев), и класса Ext^n-1 из R в тот присоединенный фактор, который является факторобъектом X (с другого края).

Если стартовать отсюда и рассуждать по индукции по n и m, то на вид очень похоже, что ответ на вопрос по ссылке будет такой. Нужное условие кошулевости на алгебру диагональных Ext'oв -- это условие точности комплекса Кошуля, построенного как тензорное произведение (над R) алгебры диагональных Ext'ов на квадратично двойственную к ее квадратичной части (которая совпадает с ней самой, если это условие выполнено) квадратичную коалгебру (или, лучше сказать, кокольцо). Здесь определение квадратичного кокольца в неплоском случае не вполне тривиально; его отображение в тензорное кокольцо может не быть вложением. По этому поводу см. старый недописанный текст, раздел 3.2. При таком определении ниоткуда вроде не следует, что левая кошулевость совпадает с правой кошулевостью; для положительного ответа на наш вопрос достаточно любого одного из этих двух свойств. [Вряд ли это правильный ответ, см. последующие постинги.]

А еще, например, кошулевость неотрицательно градуированной алгебры A с нулевой компонентой R можно определить условием зануления Tor^A(R,R) вне диагонали. Это условие лево-право симметрично, но не видно, чтобы оно было эквивалентно тому, что выше. Обычное доказательство с минимальными резольвентами не проходит, кажется.