posic's Journal

Алаверды Х.К. (FP-инъективные модули и копроизводные категории)
Развитие http://posic.livejournal.com/657354.html

Теорема: пусть (B,d,h) -- CDG-кольцо, такое что градуированное кольцо B когерентно слева и всякий его левый идеал порожден не больше, чем ℵ_n элементами (для некоторого фиксированного натурального n). Тогда естественный (заведомо вполне строгий) триангулированный функтор из гомотопической категории левых CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых инъективны, в копроизводную категорию левых CDG-модулей над B является эквивалентностью категорий.

Доказательство: над когерентным слева (градуированным) кольцом B, условия Ext_B¹(M,J) = 0 для всех конечно представимых M и Ext_Bⁱ(M,J) = 0 для всех конечно представимых M и всех i > 0 задают один и тот же класс (градуированных) левых B-модулей J (которые мы будем называть fp-инъективными). Класс этот замкнут относительно бесконечных прямых сумм и произведений, коядер вложений и расширений.

Чтобы доказать теорему, достаточно проверить в ее предположениях условие (*) из раздела 3.6 статьи Two kinds of derived categories... Нужно, чтобы счетные прямые суммы инъективных градуированных левых B-модулей имели конечную инъективную размерность; поскольку прямые суммы инъективных модулей fp-инъективны, достаточно, чтобы fp-инъективные (градуированные) левые B-модули имели конечную инъективную размерность.

B-модуль J инъективен, если Ext_B¹(B/I,J) = 0 для любого левого идеала I ⊂ B (потому что тогда можно продолжить гомоморфизм B-модулей I → J на B, откуда с помощью леммы Цорна выводится возможность продолжить любой гомоморфизм B-модулей со значениями в J). Поэтому B-модуль J имеет конечную инъективную размерность, если Ext_Bⁱ(B/I,J) = 0 для некоторого фиксированного i > 0 и любого левого идеала I ⊂ B.

По предположению, идеал I является направленным прямым пределом семейства конечно порожденных левых идеалов I_α ⊂ B мощности, не превосходящей ℵ_n. Соответственно, модуль B/I является направленным прямым пределом семейства конечно представимых модулей B/I_α.

Остается заметить, что для любой направленной диаграммы модулей M_α и модуля N над любым кольцом B имеется спектральная последовательность, начинающаяся от производных функторов проективного предела lim* Ext_B*(M_α,N) и сходящаяся к Ext_B*(lim M_α, N), где lim обозначает индуктивный предел. Убедиться в ее существовании можно, заменив модуль N на его инъективную резольвенту и посчитав производные функторы индуктивного и проективного пределов с помощью бар-конструкций. В частности, если Ext_Bⁱ(M_α,N) = 0 для всех α и всех i > 0, то Ext_B*(lim M_α, N) = lim* Hom_B(M_α,N).

Поскольку гомологическая размерность производного функтора проективного предела по направленной диаграмме мощности ℵ_n не превосходит n + 1 (см. Barry Mitchell, The cohomological dimension of a directed set, Canadian J. Math. 25 #2, 1973), теорема доказана.