Лемма Накаямы Пусть T -- ассоциативное кольцо без единицы, такое что для любых элементов t и a ∈ T найдется элемент b ∈ T, удовлетворяющий уравнению a = b − bt. Пусть M -- конечно-порожденный левый T-модуль. Тогда если TM = M, то M = 0.
Доказательство: пусть {m
i} -- минимальное по включению конечное множество образующих M. По определению, это означает, что M = ∑
i Zm
i + ∑
i Tm
i, откуда, в наших предположениях, M = TM = ∑
i Tm
i. Покажем от противного, что множество индексов i пусто.
Пусть m
0 -- одна из наших образующих; тогда m
0 = ∑
i t
im
i для некоторых t
i ∈ T. Перепишем это равенство в виде m
0 − t
0m
0 = ∑
j t
jm
j (суммирование по j ≠ 0). Согласно условию, для любого a ∈ T найдется b ∈ T, такой что a = b − bt
0. Теперь am
0 = bm
0 − bt
0m
0 = ∑
j bt
jm
j, откуда Tm
0 ⊂ ∑
j Tm
j и M = ∑
j Mt
j, в противоречие с минимальностью множества образующих m
i.
Это называется, примерно, "лемма Накаямы для ассоциативных колец без единицы, совпадающих со своим радикалом Джекобсона, и конечно-порожденных модулей над ними". Ее аналог для контрамодулей над топологическими кольцами, имеющий место без предположения конечной порожденности, играет важную роль в соответствующей теории.
Некоторый недостаток существующей формулировки контрамодульной леммы Накаямы (см. лемму 1.3.1 в препринте Weakly curved A-infinity algebras...) состоит, однако, в том, что она скорее похожа на обычную лемму Накаямы для нильрадикалов дискретных колец, чем для их радикалов Джекобсона. Формулировка по ссылке требует, чтобы топологическое кольцо T было топологически нильпотентным, т.е. всякая окрестность нуля в T содержала T
N для достаточно большого натурального N. Нельзя ли придумать вариант контрамодульной леммы Накаямы, больше похожий на вышеприведенную формулировку с радикалом Джекобсона?
Скажем, пусть T -- топологическое ассоциативное кольцо без единицы, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля (последнее условие нужно, чтобы понятие левого T-контрамодуля имело смысл). Допустим, имеется непрерывное отображение β: T × T → T, удовлетворяющее уравнению α = β(α,τ) − β(α,τ)τ для всех τ и α ∈ T. Пусть P -- левый T-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно. Следует ли отсюда, что P зануляется?
Или, хотя бы, пусть R -- топологическое ассоциативное кольцо с единицей, в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля, T -- замкнутый двусторонний идеал в R, σ: T → R -- непрерывное отображение, переводящее элемент t ∈ T в (1−t)
−1 ∈ R. Пусть P -- левый R-контрамодуль, для которого отображение контрадействия T[[P]] → P сюръективно; можно ли утверждать, что P = 0 ? Или на топологическое кольцо R с идеалом T нужно наложить какое-то другое условие "джекобсоновской радикальности", отличающееся от существования и непрерывности σ ?
Ранее на ту же тему:
http://posic.livejournal.com/191812.html ,
http://posic.livejournal.com/107398.html03.02.14 - Update: что-то странное все же написано в этом постинге. Например, вышеописанным условиям "существования и непрерывности отображения β или σ" удовлетворяет любое дискретное ассоциативное кольцо с его радикалом Джекобсона. Контрамодули над дискретным кольцом суть просто обычные модули. Очевидно, в такой ситуации лемма Накаямы может быть выполнена только для конечно-порожденных (контра)модулей.
С другой стороны, если пытаться придумать версию леммы Накаямы специально для конечно-порожденных контрамодулей, то нужно прежде всего иметь в виду, что всякий конечно-порожденный контрамодуль является в то же время и конечно-порожденным модулем (поскольку конечно-порожденный свободный контрамодуль совпадает со свободным модулем с теми же образующими). При этом не всякий конечно-порожденный модуль допускает структуру контрамодуля. Так что условие на топологическое кольцо (или замкнутый идеал в топологическом кольце) должно быть не сильнее, но слабее обычного джекобсонова условия на подлежащее абстрактное кольцо (с забытой топологией).