posic's Journal
[Most Recent Entries]
[Calendar View]
[Friends View]
Saturday, January 25th, 2014
| Time |
Event |
| 2:51a |
Advice on planning, organizing and executing a serious mathematics research project http://mathoverflow.net/questions/155632/advice-on-planning-organizing-and-executing-a-serious-mathematics-research-projThe question again, with all its parts clearly stated.
In general:
Could you share advice on planning, organizing and executing a serious mathematics research project?
In particular:
0) What are the fields of mathematics that would be of particular interest given the kinds of topics I am interested in pursuing?
1) What are the community's suggestions for a possible process to follow in order to form a research topic out of my interests and the relevant fields? Should one first try to read general survey papers in order to get a bird's eye-view? Get involved in discussion with people who are involved in the field? Cold-call professors involved in the field?
2) What are some worthwhile heuristics for evaluating one's progress?
3) Given a field of mathematics, how should one chart a self-learning plan in order to efficiently "cut to the chase" (i.e. get to the point where you can start answering the questions you are interested in)?
4) How should one interact with the mathematics community in order to become a 'serious member' of established 'research circles'?Мой коммент: The question is indeed interesting in that it opens a view of how outsiders imagine mathematical research and discoveries being done nowadays. It also serves to prove the point opposite to what the OP suggests in an above comment, namely, how important it has become to dedemocratize the process of becoming a professional mathematician, and how urgent such a task may indeed be, given how far the democratization process has gone by now. This is also the reason why I think this question will be deleted soon. | | 7:38p |
Теории кокручения в категориях контрамодулей Значение теорий кокручения на категориях модулей над коммутативными кольцами в теории контрагерентных копучков связано с тем, что морфизмы, скажем, аффинных схем, используемые в качестве покрытий при построении произвольных схем или стеков, часто обладают тем свойством, что кольцо функций на верхней схеме является плоским модулем над кольцом функций на нижней, но гораздо реже этот модуль оказывается проективным. Поскольку кольца функций на открытых аффинных подсхемах в топологии Зарисского, не будучи отнюдь проективными модулями над кольцом функций на объемлющей аффинной схеме, являются все же представителями довольно специального подкласса плоских модулей (такие модули называются у меня очень плоскими), возникает не одна, но две основные теории кокручения: 1. плоские модули и модули кокручения, и 2. очень плоские и контраприспособленные модули. Развитие теорий контрагерентных копучков контрамодулей требует, соответственно, построения теорий кокручения в категориях контрамодулей. Исторически, доказательство полноты плоской теории кокручения в категории модулей над кольцом было в свое время непростой задачей: впервые сформулированная Э. Еноксом в начале 80-х годов, соответствующая гипотеза была в полной общности доказана только в начале 00-х. Доказательство, оказавшееся совсем несложным, продемонстрировало значение и мощь теоретико-множественных методов в гомологической алгебре, начавших входить в моду где-то с середины 90-х. Методы эти, однако, вообще говоря разрабатываемые и применяемые в довольно общей ситуации "λ-фильтрованных прямых пределов для произвольного регулярного кардинала λ", к этим задачам об абелевых и точных категориях обычно применяются только в предположении точности всех направленных прямых пределов. Не умея избавиться от этого предположения, которому, конечно, не удовлетворяют контрамодули, я на протяжении последних полутора-двух лет искал подходы к построению теорий кокручения в категориях контрамодулей, основанные на уже известном факте полноты таких теорий в обычных категориях модулей, принимаемом как исходная данность. | | 10:35p |
Теории кокручения в категориях контрамодулей - продолжение В конце мая 2012 года появилась плоская теория кокручения на категории контрамодулей над нетеровым кольцом в адической топологии идеала: контрамодуль назывался плоским или кокручения, если он был плоским или кокручения как обычный модуль. В первой половине марта 2013 обнаружилась и очень плоская теория кокручения на той же категории контрамодулей: контрамодуль стал называться очень плоским, если его редукции по модулю степеней идеала очень плоски, и контраприспособленным, если он контраприспособлен как обычный модуль. Очень плоская теория кокручения на категории контрамодулей над коммутативным топологическим кольцом нильпотентного типа появилась в конце марта. Теперь контрамодуль был очень плоским, если все его редукции по модулю открытых идеалов очень плоски, а отображение его в проективный предел таких редукций является изоморфизмом -- и, по прежнему, контраприспособленным, если он контраприспособлен как обычный модуль. Во всех перечисленных случаях, конструкции контрамодулей тех или иных классов основывались на факте существования достаточного количества объектов соответствующих классов в обычных категориях модулей. Конкретные способы построения таких модулей (вообще говоря, основанные на переходе к направленному прямому пределу в трансфинитной индукции и теоретико-множественной аргументации, доказывающей сходимость процесса) для рассуждений о контрамодулях не имели значения. | | 10:42p |
Теории кокручения в категориях контрамодулей - окончание Плоская теория кокручения в категории контрамодулей над пронетеровым коммутативным кольцом конечной тотальной размерности Крулля, чего-то подобного которой так недоставало мне с марта, появилась у меня, похоже, в последние дни. На этот раз, аргумент основывается на явной конструкции объектов кокручения в категории модулей, но только не новейшей, теоретико-множественной, а более старой, известной еще с середины 90-х. В книжке Jinzhong Xu 1996 года, где я нашел недостававшие мне детали этого построения после того, как придумал основную идею, отмечается, что все известные на то время конструкции плоских покрытий и оболочек кокручения используют те или иные предположения конечности гомологической размерности. Конструкции теорий кокручения в совсем других абелевых категориях, основанные на предположениях конечности гомологической размерности, использовались и в моем полубесконечном трактате (откуда я, собственно, и набрел на идею использовать их в задаче о плоской теории кокручения для контрамодулей). Именно в связи с необходимостью ограничить (гомологическую) размерность кокручения возникает требование конечности тотальной размерности Крулля, упомянутое выше. Класс инд-нетеровых инд-схем конечной тотальной размерности Крулля не так уж сильно отличается от класса инд-нетеровых инд-схем нильпотентного типа, для которых раньше была построена очень плоская теория кокручения (хотя ни один из этих двух классов не содержится в другом). Главное различие в том, что очень плоская теория не требует, на самом деле, предположений нетеровости, а только конечной порожденности определяющих идеалов. Это, вроде бы, вписывается в знакомую по прежнему опыту картину -- на ненетеровых схемах контрагерентные копучки локально кокручения не очень полезны, а интересные теоремы доказываются про локально контраприспособленные контрагерентные копучки. В то же время, на нетеровых схемах контрагерентные копучки локально кокручения кажутся незаменимыми, и очень хорошо (например, для целей де Рама-Витта и т.п.), если в инд-нетеровой ситуации они у меня теперь будут. Вопрос о контрагерентных копучках на совсем не нильпотентных и тотально бесконечномерных инд-схемах, хотя бы даже инд-нетеровых (таких как, условно, прямой предел вложения точки в проективную прямую в проективную плоскость ... и т.д.), остается по-прежнему широко открытым. |
|