Плоские контрамодули кокручения над пронетеровым топологическим кольцом?
Пусть R₀ ← R₁ ← R₂ ← … -- проективная система нетеровых коммутативных колец и сюръективных отображений между ними. Пусть R = lim_n R_n -- ее проективный предел, рассматриваемый как топологическое кольцо, и пусть I_n ⊂ R -- ядра естественных сюръективных гомоморфизмов R → R_n. Пусть F -- плоский R-контрамодуль; согласно разделу D.1 текущей версии контрагерентного текста (на positselski.narod.ru), это значит, что F = lim_n F_n, где F_n -- плоские R_n-модули и F_n+1 → F_n -- сюръективные отображения, отождествляющие F_n с R_n ⊗_Rn+1 F_n+1.

Как известно, плоские модули кокручения над нетеровым кольцом S суть в точности произведения по точкам спектра S свободных контрамодулей над пополнениями S_p^ локализаций S_p кольца S по соответствующим простым идеалам. Предлагается следующая конструкция функториального отображения плоского S-модуля G в плоский S-модуль кокручения: для каждого простого идеала p кольца S, взять естественное отображение из G в p-адическое пополнение G_p^ плоского S_p-модуля G_p = S_p ⊗_S G, потом перемножить по всем p.

Пользуясь известным фактом полноты стандартной теории кокручения в категории S-модулей, можно, наверное, показать, что отображение это (не лишенное, кажется, каких-то там свойств слабой универсальности) инъективно с плоским коядром. Далее предлагается попробовать собрать проективную систему плоских R_n-модулей кокручения из таких конструкций, примененных к R_n-модулю F_n для каждого n, и сделать из этого вложение нашего плоского R-контрамодуля F в плоский R-контрамодуль кокручения (в каком-то там смысле).

Update: в самом деле, из вышесформулированного описания плоских модулей кокручения над S ясно, что всякий гомоморфизм из плоского S-модуля G в такой S-модуль факторизуется через ∏_p G_p^. Чтобы убедиться, что отображение G → ∏_p G_p^ инъективно и коядро его является плоским S-модулем, рассмотрим естественное отображение G → Hom_Z(Hom_Z(G,Q/Z),Q/Z). S-модуль на правой стороне последнего отображения является плоским модулем кокручения, отображение это очевидно инъективно, и для любого конечно-порожденного S-модуля M отображение M ⊗_S G → M ⊗_S Hom_Z(Hom_Z(G,Q/Z),Q/Z) = Hom_Z(Hom_Z(M⊗_SG, Q/Z), Q/Z) тоже инъективно.

Теперь отображение G → Hom_Z(Hom_Z(G,Q/Z),Q/Z) факторизуется через отображение G → ∏_p G_p^, отсюда следует инъективность отображений M ⊗_S G → M ⊗_S ∏_p G_p^ для всех таких M. Поскольку S-модуль ∏_p G_p^ плоский, можно заключить, что плоским является и коядро морфизма G → ∏_p G_p^. (См. лемму 3.1.6 и предложение 4.2.2 из книжки Jinzhong Xu, Flat covers of modules, Lect. Notes 1634, 1996.)