Из писем к В.Х.
<...> обсуждается вопрос о явном описании фибраций в модельной категории DG-коалгебр <...> В самом деле, является ли морфизм DG-коалгебр фибрацией, не зависит от дифференциалов на этих DG-коалгебрах. У меня рассматриваются коассоциативные, некокоммутативные DG-коалгебры, но это мало отличается от коммутативного случая (разница только в том, что в некоммутативном случае имеет смысл еще CDG-коалгебры рассматривать).

<...>

Дело в том, что модельные структуры на категориях DG-алгебр и DG-коалгебр существенно разные. В категории DG-алгебр слабые эквивалентности описываются просто (квазиизоморфизмы) и не зависят от структур алгебр, а только от дифференциалов. В категории DG-коалгебр слабые эквивалентности описываются сложнее (порождаются фильтрованными квазиизоморфизмами) и от структур коалгебр зависят.

Зато в категории DG-коалгебр фибрации описываются просто и не зависят от дифференциалов (верхняя коалгебра должна косвободно копорождаться нижней и каким-нибудь градуированным векторным пространством). В категории DG-алгебр кофибрации описываются сложнее и от дифференциалов зависят.

В этом состоит разница между "производными категориями первого и второго рода", в терминологии моей статьи. В производных категориях первого рода (обычных) легко описать эквивалентности, в производных категориях второго рода (копроизводных, контрапроизводных) -- приспособленные объекты.