Умножения Масси и кошулевость
Известная задача -- пусть есть неотрицательно градуированное кольцо, нулевая компонента которого не полупроста, а остальные компоненты не являются плоскими модулями над нулевой компонентой, ни с какой стороны. Что значит, что такое кольцо кошулево?

Вот возможный подход к этой задаче. Пусть есть категория, похожая на категорию градуированных модулей над неотрицательно градуированным кольцом. Пусть сначала нулевая компонента этого кольца полупроста. Этот класс категорий легко определить абстрактно как абелевы категории G с полупростыми подкатегориями G_i, такими что G порождается G_i с помощью расширений, причем Hom'ов между разными G_i нет, а все первые Ext'ы между G_i идут в одну сторону. В этом случае все Ext'ы между объектами G_i получаются из первых Ext'ов c помощью операций Масси.

Отсюда должно следовать, в частности, что если первые Ext'ы из G_i в G_j бывают только при j-i=1, а вторые -- только при j-i=2, и если алгебра диагональных Ext^j-i(G_i,G_j) кошулева, то все Ext'ы из G_i в G_j лежат на диагонали. Обычный способ доказывать это утверждение состоит в том, чтобы описать G как категорию градуированных комодулей над градуированной коалгеброй и воспользоваться обычными результатами о квадратичной двойственности между градуированными алгебрами и коалгебрами. Хорошо было бы, в самом деле, уметь доказывать то же самое, исходя из свойств операций Масси.

Следующий шаг состоит в том, чтобы ослабить условия на категорию G, заменив абелевость на точность, а полупростоту на тривиальность точной структуры. Скажем, пусть G_i -- категории конечно-порожденных проективных модулей над кольцом R, и предположим для простоты наличие автоморфизма/автоэквивалентности категории G, сдвигающей G_i. Тогда Extⁿ(R,R(n)) образуют неотрицательно градуированное кольцо с нулевой компонентой R. Какие условия надо наложить на это кольцо, чтобы отсутствие внедиагональных Ext¹ и Ext² влекло отсутствие и высших Ext'ов вне диагонали?