|
|
Пишет posic (![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small} posic)@ 2012-07-15 23:58:00 |
 |
|
 |
|
|
|
|
|
|
 |
|
 |
Контрагерентные копучки - 4
Продолжение http://posic.livejournal.com/817265.html?m
IV.6. "Наивное" ко-контра соответствие
Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Обозначим
через X-qcoh абелеву категорию квазикогерентных пучков на X, через
X-сtrh точную категорию контрагерентных копучков на X, и через
X-lcth точную категорию локально контрагерентных копучков на X.
Теорема. Для любого символа * = b, +, -, \emptyset, +abs, -abs или
abs имеются естественные эквивалентности триангулированных
категорий D^*(X-qcoh) = D^*(X-ctrh) = D^*(X-lcth). Эквивалентность
между последними двумя категориями индуцирована естественным
вложением точных категорий X-ctrh \to X-lcth. Указанные
эквивалентности образуют коммутативные диаграммы с естественными
функторами D^b \to D^+, D^- \to D, D^b \to D^+abs, D^-abs \to
D^abs, D^\abs \to D, D^+abs \to D^+, D^-abs \to D^- между разными
вариантами производных категорий одной и той же точной категории.
Доказательство: пусть X-qcoh^cta обозначает точную категорию
контраприспособленных квазикогерентных пучков на X и X-ctrh^clp
обозначает точную категорию колокально проективных контрагерентных
копучков на X. Тогда из предложения IV.5.2 вместе с результатами
разделов III.2 и IV.2 следует, что триангулированные функторы
D^*(X-ctrh^clp) \to D^*(X-ctrh), D^*(X-ctrh^clp) \to D^*(X-lcth),
индуцированные вложениями точных категорий X-ctrh^clp \to
X-ctrh \to X-lcth, являются эквивалентностями триангулированных
категорий. Аналогично, из результатов раздела IV.1 (вместе
с существованием конечной резольвенты Чеха квазикогерентного пучка
и существованием двучленной контраприспособленной резольвенты
модуля над коммутативным кольцом) следует, что триангулированные
функторы D^*(X-qcoh^cta) \to D^*(X-qcoh), индуцированные вложением
точных категорий X-qcoh^cta \to X-qcoh, является эквивалентностями
категорий.
Остается построить естественную эквивалентность точных категорий
X-qcoh^cta \simeq X-ctrh^clp. Согласно результатам разделов II.5,
II.6 и III.3, имеются функторы O_X\ocn_X - : X-lcth \to X-qcoh и
fHom_X(O_X,-): X-qcoh^cta \to X-ctrh, связанные изоморфизмом
сопряжения, имеющим место для тех объектов, на которых второй
функтор определен. Мы покажем, что на квазикомпактной
полуотделимой схеме X первый функтор отображает X-ctrh^clp в
X-qcoh^cta, второй функтор отображает X-qcoh^cta в X-ctrh^clp,
и ограничения этих функторов на эти подкатегории взаимно-обратны.
Очевидно, на аффинной схеме U функтор fHom_U(O_U,-) отображает
контраприспособленный квазикогерентный пучок F с O(U)-модулем
глобальных сечений O(U) в контрагерентный копучок P c O(U)-модулем
глобальных косечений P(U) = F(U). Далее, если j: U \to X --
вложение аффинной открытой подсхемы, то, согласно результату из
раздела III.4, имеется естественный изоморфизм контрагерентных
копучков fHom_X(O_X,j_*F) = j_!P на X. Аналогично, функтор
O_U\ocn_U - отображает контрагерентный копучок P с O(U)-модулем
глобальных косечений P(U) в контраприспособленный квазикогерентный
пучок F с O(U)-модулем глобальных сечений F(U) = P(U). Если
задано вложение аффинной открытой подсхемы j: U \to X, то имеется
естественный изоморфизм квазикогерентных пучков O_X\ocn_X j_!P
= j_*F на X.
Согласно лемме IV.1.6б), всякий пучок из X-qcoh^cta является
прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых образов
контраприспособленных квазикогерентных пучков с аффинных открытых
подсхем X. Из определения функтора fHom_X(O_X,-) ясно, что он
сохраняет точность коротких последовательностей
контраприспособленных квазикогерентных пучков; так что он
сохраняет, в частности, и такие итерированные расширения.
Согласно лемме IV.2.3б) (см. также следствие IV.2.2) всякий копучок
из X-ctrh^clp является прямым слагаемым конечно итерированного
расширения прямых образов контрагерентных копучков с аффинных
открытых подсхем X. Из изоморфизма сопряжения
Hom_X(O_X\ocn_X P, F) = Hom^X(P, fHom_X(O_X,F)), имеющего место
для любого контрагерентного копучка P и контраприспособленного
квазикогерентного пучка F, вместе с тем фактом, что контрагерентный
копучок fHom_X(O_X,J) локально инъективен для любого инъективного
квазикогерентного пучка J на X, ясно, что функтор P \mpsto
Hom_X(O_X\ocn_X P, J) сохраняет точность троек колокально
проективных контрагерентных копучков P, а следовательно, точность
таких троек сохраняет и функтор O_X\ocn_X -. Теорема доказана.
IV.7. Гомотопически локально инъективные комплексы
Целью этого раздела является построение полной
триангулированной подкатегории в неограниченной производной
категории локально инъективных \W-локально контрагерентных
копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме X, эквивалентной
неограниченной производной категории всех \W-локально
контрагерентных копучков. Значение этой конструкции проще
всего проиллюстрировать в рамках двойственность-аналогии
контрагерентных копучков с квазикогерентными пучками.
Введем некоторые обозначения. Для любого открытого покрытия \W
схемы X, будем обозначать через X-lcth_\W точную категорию
\W-локально контрагерентных копучков на X. Обозначим через
X-qcoh^fl и X-lcth_\W^lin, соответственно, точные категории плоских
квазикогерентных пучков и локально инъективных \W-локально
контрагерентных копучков на схеме X.
Полная триангулированная подкатегория D(X-qcoh^fl)^fl \sub
D(X-qcoh^fl) гомотопически плоских комплексов плоских
квазикогерентных пучков определяется как минимальная полная
триангулированная подкатегория, содержащая ограниченные сверху
комплексы в D(X-qcoh^fl) и замкнутая относительно расширений.
Следующий результат принадлежит, по существу, Спалтенштейну [Sp].
Теорема 1. Для любой квазикомпактной полуотделимой схемы X,
композиция естественных триангулированных функторов
D(X-qcoh^fl)^fl \to D(X-qcoh^fl) \to D(X-qcoh) является
эквивалентностью триангулированных категорий. Комплекс плоских
квазикогерентных пучков F на X принадлежит D(X-qcoh^fl)^fl
тогда и только тогда, когда его тензорное произведение над O_X
с любым ацикличным комплексом квазикогерентных пучков является
ацикличным комплексом (квазикогерентных пучков).
Доказательство: по поводу первого утверждения, см.
http://posic.livejournal.com/825493.html и далее по ссылкам.
Доказательство второго утверждения аналогично (и проще), чем
доказательство второго утверждения теоремы 2 ниже.
Полная триангулированная подкатегория D(X-lcth_\W^lin)^lin \sub
D(X-lcth_\W^lin) гомотопически локально инъективных комплексов
локально инъективных \W-локально контрагерентных копучков
определяется как минимальная полная триангулированная подкатегория,
содержащая ограниченные снизу комплексы в D(X-lcth_\W^lin) и
замкнутая относительно бесконечных произведений.
Теорема 2. Для любой квазикомпактной полуотделимой схемы X
с открытым покрытием \W, композиция естественных триангулированных
функторов D(X-lcth_\W^lin)^lin \to D(X-lcth_\W^lin) \to
D(X-lcth_\W) является эквивалентностью категорий. Комплекс
локально инъективных \W-локально контрагерентных копучков F на X
принадлежит D(X-lcth_\W^lin)^lin тогда и только тогда, когда
комплекс Cohom_X в него из любого ацикличного комплекса
квазикогерентных пучков является ацикличным комплексом (\W-локально
контрагерентных копучков, произвольных или локально кокручения).
Доказательство. Для доказательства первого утверждения нам
потребуются, прежде всего, дополнительные обозначения. Пусть
X-ctrh^clp-lin обозначает аддитивную категорию локально инъективных
колокально проективных контрагерентных копучков на X (это точная
подкатегория с тривиальной точной структурой в X-ctrh). Полная
триангулированная подкатегория Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin \sub
Hot(X-ctrh^clp-lin) гомотопически локально инъективных комплексов
локально инъективных колокально проективных контрагерентных
копучков на X определяется как минимальная полная триангулированная
подкатегория, содержащая ограниченные снизу комплексы
в Hot(X-ctrh^clp-lin) и замкнутая относительно бесконечных
произведений.
Как было показано в доказательстве теоремы IV.6, функтор
D(X-ctrh^clp) \to D(X-lcth_\W) является эквивалентностью
триангулированных категорий. Аналогичным образом устанавливается,
что триангулированный функтор Hot(X-ctrh^clp-lin) \to
D(X-lcth_\W^lin) является эквивалентностью, так же, как и похожий
функтор для ограниченных снизу комплексов. Соответственно, второй
функтор отождествляет полные триангулированные подкатегории,
замкнутые относительно расширений, порожденные комплексами,
ограниченными снизу. Таким образом, мы имеем эквивалентность
категорий Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin = D(X-lcth_\W^lin)^lin, и
остается показать, что функтор Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin \to
D(X-ctrh^clp) является эквивалентностью категорий.
Мы покажем, что из всякого комплекса над D(X-ctrh^clp) бьет морфизм
в комплекс, принадлежащий Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin, являющийся
квазиизоморфизмом по отношению к точной категории X-ctrh^clp.
В частности, отсюда будет немедленно следовать, ввиду двойственной
версии леммы 1.6 из Two kinds..., примененной к гомотопической
категории Hot(X-ctrh^clp) с полной триангулированной подкатегорией
Hot(X-ctrh^clp-lin) и толстой подкатегорией комплексов, ацикличных
по отношению к X-ctrh^clp, что категория D(X-ctrh^clp) эквивалентна
локализации D(X-ctrh^clp-lin) по толстой подкатегории комплексов,
ацикличных по отношению к X-ctrh^clp. Согласно двойственной версии
леммы из http://posic.livejournal.com/824808.html , последняя
подкатегория полуортогональна слева к Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin
внутри Hot(X-ctrh^clp-lin). Ввиду того же утверждения
о существовании квазиизоморфизма, эти две подкатегории образуют
полуортогональное разложение Hot(X-ctrh^clp-lin), откуда следует
желаемое утверждение.
Лемма 1. Существует такое натуральное N, что для любого комплекса
C^0 \to ... \to C^{N+1} над X-ctrh^clp найдется комплекс
G^0 \to ... \to G^{N+1} над X-ctrh^clp вместе с морфизмом
комплексов C^\bu \to G^\bu, таким что G^0 = 0, а морфизмы
C^N \to G^N и C^{N+1} \to G^{N+1} являются изоморфизмами.
Доказательство. Ввиду эквивалентности категорий X-ctrh^clp =
X-qcoh^cta, достаточно доказать лемму применительно к комплексам
над X-qcoh^cta. Положим G^0 = 0. Рассмотрим квазикогерентный
пучок 'C^1 = coker(C^0\to C^1) и вложим его в контраприспособленный
квазикогерентный пучок G^1. Обозначим через 'C^2 расслоенную
прямую сумму квазикогерентных пучков G^1 и C^2 над 'C^1; тогда
имеется естественный морфизм квазикогерентных пучков 'C^2 \to C^3,
имеющий нулевую композицию с морфизмом G^1 \to 'C^2 и образующий
коммутативную диаграмму с морфизмами C^2 \to 'C^2 и C^2 \to C^3.
Вложим квазикогерентный пучок 'C^2 в контраприспособленный
квазикогерентный пучок G^2, рассмотрим расслоенную прямую сумму
'C^3 квазикогерентных пучков G^2 и С^3 над 'C^2, и так далее.
Последовательность 0 \to 'C^1 \to G^1\oplus C^2 \to G^2\oplus C^3
\to ... \to 'C^{N-1} является резольвентой квазикогерентного пучка
'C^1, в которой все члены, кроме, может быть, самого правого, суть
контраприспособленные квазикогерентные пучки. Ввиду соображений
об F-гомологических размерностях из раздела IV.5 и существования
правой контраприспособленной резольвенты ограниченной длины
у любого квазикогерентного копучка на X, при достаточно большом N
пучок 'C^{N-1} будет контраприспособлен. Остается положить
G^{N-1} = 'C^{N-1}, G^N = C^N, и G^{N+1} = C^{N+1}.
Лемма 1 доказана.
Пусть теперь C -- комплекс над X-ctrh^clp. Для каждого фрагмента
из N+2 последовательных членов C^{i-1} \to ... \to C^{i+N} в этом
комплексе построим соответствующий комплекс {}^(i)G^{i-1} \to ...
\to {}^(i)G^{i+N} как в лемме 1. Доопределим {}^(i)G^j = 0 при
j < i и {}^(i)G^j = C^j при j \ge i + N. Получится ограниченный
снизу комплекс {}^(i)}G, снабженный морфизмом комплексов C \to
{}^(i)G, являющимся изоморфизмом во всех членах степени \ge i + N.
Обозначим через {}^(0)}D = D(C) прямое произведение всех комплексов
{}^(i)G. Морфизм комплексов C \to D является в каждом члене
допустимым (и даже расщепимым) мономорфизмом в точной категории
X-qcoh^cta; рассмотрим коядро этого морфизма комплексов и применим
к нему ту же конструкцию, получая почленно стягиваемый комплекс
комплексов 0 \to C \to {}^(0)D \to {}^(1)D \to ..., в котором все
комплексы {}^(i)D являются бесконечными произведениями комплексов
над X-qcoh^cta, ограниченных снизу.
Пусть F обозначает тотальный комплекс бикомплекса {}^(\bu)D^\bu,
построенный с помощью взятия бесконечных произведений вдоль
диагоналей. Как объяснено в жж-постинге по ссылке выше, комплекс F
принадлежит D(X-ctrh^clp-lin)^lin, так что остается показать, что
конус морфизма C \to F ацикличен по отношению к точной категории
X-ctrh^clp. Как ясно из рассуждений по той же ссылке, для любой
аффинной открытой подсхемы U \sub X комплекс косечений этого
комплекса копучков над U ацикличен. Остается показать, что
ковариантные функторы на категории аффинных открытых подмножеств
U \sub X, сопоставляющие каждому U O(U)-модуль i-коциклов
соответствующего комплекса косечений, определяют колокально
проективные контрагерентные копучки. Поскольку фактормодуль
контраприспособленного модуля контраприспособлен, эти O(U)-модули
контраприспособлены. Поскольку функтор Hom_{O(U)}(O(V),-) для
аффинной открытой подсхемы U \sub V сохраняет точность троек
контраприспособленных модулей, функторы, о которых идет речь,
соответствуют контрагерентным копучкам. Поскольку всякий копучок
из X-ctrh допускает конечную левую резольвенту копучками из
X-ctrh^clp, наши копучки коциклов принадлежат последней категории.
Первое утверждение теоремы доказано; докажем второе. Покажем
прежде всего, что Cohom из любого комплекса квазикогерентных
пучков в комплекс локально контрагерентных копучков, ацикличный
по отношению к точной категории X-lcth_\W^lin, ацикличен по
отношению к точной категории X-lcth_\W^lct \W-локально
контрагерентных копучков локально кокручения. В самом деле,
любой комплекс в абелевой категории является локально
стабилизирующимся прямым пределом конечных комплексов. Поэтому
достаточно проверять утверждение в случае комплекса
квазикогерентных пучков с единственным ненулевым членом, в каковом
случае оно очевидно. Таким образом, категория всех комплексов
\W-локально контрагерентных копучков, удовлетворяющих нашему
условию на функтор Cohom, может рассматриваться как строго полная
триангулированная подкатегория в D(X-lcth_\W^lin).
Теперь утверждение "только тогда" легко следует из согласованности
функтора Cohom с бесконечными произведениями по второму аргументу
и его точности как функтора на категории квазикогерентных пучков
при фиксированном втором аргументе -- локально инъективном локально
контрагерентном копучке. Ввиду (доказательства) первого
утверждения теоремы, чтобы проверить "тогда", достаточно убедиться,
что всякий комплекс над X-lcth_\W^lin, удовлетворяющий условию на
Cohom и ацикличный по отношению к X-lcth_\W, ацикличен также и по
отношению к X-lcth_\W^lin.
Заметим, что Cohom из ограниченного сверху комплекса очень плоских
квазикогерентных пучков в комплекс \W-локально контрагерентных
копучков, ацикличный по отношению к X-lcth_\W, ацикличен по
отношению к X-lcth_\W. Поскольку у всякого квазикогерентного пучка
на X есть очень плоская левая резольвента, отсюда следует, что если
Cohom из любого ацикличного комплекса квазикогерентных пучков
в фиксированный комплекс C \W-локально контрагерентных копучков,
ацикличный по отношению к X-lcth_\W, ацикличен по отношению
к X-lcth_W, то тем же свойством обладает и Cohom в C из любого
квазикогерентного пучка на X (рассматриваемого как одночленный
комплекс).
Пусть теперь U -- аффинная открытая подсхема в X, подчиненная \W,
М -- O(U)-модуль, рассматриваемый также как квазикогерентный пучок
на U, и N -- какое-нибудь квазикогерентное продолжение (например,
прямой образ) M на X. Тогда точность комплекса Cohom_X(N,C) по
отношению к точной категории X-lcth_\W влечет, в частности,
точность комплекса O(U)-модулей Hom_{O(U)}(M,C(U)). Поскольку
это выполнено для всех O(U)-модулей M, в ацикличном комплексе
инъективных O(U)-модулей C(U) все O(U)-модули коциклов инъективны.
Теорема доказана.
Нам понадобится также следующий вспомогательный результат.
Лемма 2. Пусть C -- комплекс над точной категорией X-ctrh^clp,
а D -- комплекс, принадлежащий D(X-lcth_\W^lin)^lin. Тогда
комплекс абелевых групп Hom^X(C,D) вычисляет группы морфизмов
Hom_{D(X-lcth_\W)}(C,D) в производной категории локально
контрагерентных копучков.
Доказательство. Поскольку во всякий комплекс над X-lcth_\W
квазиизоморфно отображается некоторый комплекс над X-ctrh^clp, и
любой комплекс над X-ctrh^clp, ацикличный над X-lcth_\W, ацикличен
также и над X-ctrh^clp, достаточно показать, что комплекс абелевых
групп Hom^X(C,D) ацикличен для любого комплекса C, ацикличного по
отношению к X-ctrh^clp, и комплекса D из D(X-lcth_\W^lin)^lin.
Для комплекса D, который может быть получен из ограниченных снизу
комплексов над X-lcth_\W^lin с помощью итерированных операций
бесконечного произведения и конуса в Hot(X-lcth_\W^lin), последнее
утверждение очевидно, так что остается разобрать случай комплекса
D, ацикличного по отношению к X-lcth_\W^lin. В этом случае мы
покажем, что комплекс Hom^X(C,D) ацикличен для любого комплекса C
над X-ctrh^clp.
Пусть i \in \Z. Пользуясь леммой 1, мы можем построить, как
в доказательстве теоремы выше, морфизм комплексов g: C \to G над
X-ctrh^clp, такой что G^j = 0 при j < i и C^j \to G^j -- изоморфизм
при j \ge i + N. Рассмотрим коконус этого морфизма cocone(f).
Все дифференциалы его, начиная с того, что действует между членами
с номерами i + N и i + N + 1 и выше, являются расщепимыми
морфизмами (т.е., композициями проекции на прямоге слагаемое и
вложения прямого слагаемого) в аддитивной категории X-ctrh^clp.
Поэтому комплекс cocone(f) разлагается в прямую сумму комплекса,
сосредоточенного в степенях \le i + N +1 и (стягиваемого)
комплекса, сосредоточенного в степенях \ge i + N +1. Нас
интересует первое слагаемое. Eго глупое обрезание F(j,i),
с сохраненными членами начиная с номера j и выше, является конечным
комплексом, сосредоточенным между градуировками j и i + N + 1,
отображающимся в C, причем отображение это является почленным
изоморфизмом в градуировках между j и i.
Комплекс С является почленно стабилизирующимся индуктивным пределом
последовательности комплексов F(j,i) по убывающим степеням j и
(достаточно быстро) возрастающим степеням i. Поэтому бикомплекс
Hom^X(C,D) является почленно стабилизирующимся проективным
пределом последовательности бикомплексов Hom^X(F(j,i),D), и
точность тотализации первого, образованной с помощью взятия
бесконечных произведений вдоль диагоналей, следует из точности
тотализаций последних. Но комплексы F(j,i) конечны, и остается
вспомнить, что функтор Hom^X из колокально проективного
контрагерентного копучка сохраняет точность троек локально
инъективных локально контрагерентных копучков. Лемма 2 доказана.
IV.8. Производные функторы прямого и обратного образа
Везде в этом и следующем разделах, если не оговорено
обратное, * обозначает один из символов b, +, -, \empty,
+abs, -abs, co, ctr, или abs.
Отметим, что согласно предложению IV.5.2 естественный функтор
D^*(X-ctrh) \to D^*(X-lcth_\W) является эквивалентностью
триангулированных категорий для любого символа * \ne co и
любого покрытия \W квазикомпактной полуотделимой схемы X; то же
относится к функтору D^*(X-lcth_W) \to D^*(X-lcth), если
* \ne co, ctr. Для любой схемы X, мы будем обозначать через
D^ctr(X-lcth) прямой предел триангулированных категорий
D^ctr(X-lcth_\W) по измельчающимся покрытиям \W.
Пусть f: Y \to X -- морфизм квазикомпактных полуотделимых схем.
Тогда для любого символа * \ne ctr, производный функтор прямого
образа Rf_*: D^*(Y-qcoh) \to D^*(X-qcoh) строится следующим
образом. Как было показано в разделах IV.5-6, триангулированный
функтор D^*(Y-qcoh^cta) \to D^*(Y-qcoh) является эквивалентностью
категорий (как и аналогичный функтор для пучков над X). Покажем,
что функтор прямого образа f_*: Y-qcoh \to X-qcoh отображает
Y-qcoh^cta в X-qcoh^cta и является точным функтором между этими
точными категориями. После этого производный функтор Rf_* будет
определяться с помощью ограничения функтора прямого образа
f_*: Hot(Y-qcoh) \to Hot(X-qcoh) на полную подкатегорию комплексов
пучков из Y-qcoh^cta (с подходящими свойствами ограниченности).
Из леммы IV.1.6б) нетрудно вывести, что обратный образ
контраприспособленного квазикогерентного пучка при аффинном
морфизме в квазикомпактную полуотделимую схему является
прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых
образов квазикогерентных пучков с аффинных открытых подсхем.
Функтор глобальных сечений точен на точной категории
квазикогерентных пучков, представимых в виде таких расширений,
ввиду изоморфизма Ext_U^i(g^*F,G)=Ext_V^i(F,g_*G) для
квазикогерентных пучков F, G на V, U и плоского аффинного
морфизма g: U \to V (примененного к пучку F = O_V). Поэтому
функтор f_* сохраняет точность троек пучков из Y-qcoh^cta.
Остается вспомнить, что класс контраприспособленных
квазикогерентных пучков сохраняется прямыми образами при
аффинных морфизмах, как было отмечено в разделе II.5.
Для любого символа * \ne co, производный функтор прямого образа
Lf_!: D^*(Y-lcth) \to D^*(X-lcth) строится следующим образом.
Как было показано в разделах IV.5-6, триангулированный функтор
D^*(Y-ctrh^clp) \to D^*(Y-lcth) является эквивалентностью
категорий (как и аналогичный функтор для копучков на X).
Мы определим функторы прямого образа колокально проективных
контрагерентных копучков f_*: Y-ctrh^clp \to X-ctrh^clp для всех
морфизмов квазикомпактных полуотделимых схем f: X \to Y. После
этого функтор Lf_! будет определяться как индуцированный функтор
D^*(Y-ctrh^clp) \to D^*(X-ctrh^clp) с помощью отождествлений
триангулированных категорий, упомянутых выше.
Согласно следствию IV.2.3б), функтор обратного образа при аффинном
открытом вложении переводит колокально проективные копучки
в колокально проективные. Согласно результатам раздела IV.3,
функтор глобальных косечений точен на категории колокально
проективных контрагерентных копучков. Поэтому для любой аффинной
открытой подсхемы U \sub X, функтор, сопоставляющий колокально
проективному контрагерентному копучку F на Y его O(U)-модуль
косечений F(f^{-1}(U)) является точным. В случае, когда
копучок F является прямым образом контрагерентного копучка G
с вложения аффинной открытой подсхемы j: V \to Y, правило
U \mpsto F(f^{-1}(U)) определяет контрагерентный копучок (fj)_!G
на X, являющийся колокально проективным согласно следствию
IV.2.3а). Поскольку контрагерентные копучки образую полную
точную подкатегорию, замкнутую относительно расширений, в точной
категории копучков на X, описанной в разделе IV.4, для любого
колокально проективного контрагерентного копучка F на Y то же
правило определяет колокально проективный контрагерентный копучок
f_!F на X.
Аналогичным образом строится производный функтор прямого образа
Lf_!: D^*(Y-lcth^lct) \to D^*(X-lcth^lct), где X-lcth^lct
обозначает точную категорию локально контрагерентных копучков
локально кокручения на X, и аналогично для Y.
Теорема. Для любого символа * \ne co, ctr эквивалентности
категорий D^*(Y-qcoh) = D^*(Y-lcth) и D^*(X-qcoh) = D^*(X-lcth)
из теоремы IV.6 преобразуют функтор Rf_* в функтор Lf_!.
Доказательство. Достаточно показать, что эквивалентности точных
категорий Y-qcoh^cta = Y-ctrh^clp и X-qcoh^cta = X-ctrh^clp из
доказательства теоремы IV.6 переводят функтор f_* в функтор f_!.
В самом деле, доказательство коммутации функторов f_* и f_!
с функтором fHom, данное в разделе III.4, проходит и для
неаффинного морфизма f.
Обозначим через X-lcth^lin объединение точных категорий
X-lcth_\W^lin по измельчающимся покрытиям \W. Согласно
разделу III.2, для любого морфизма в полуотделимую схему f: Y \to X
имеется точный функтор обратного образа f^!: X-lcth^lin \to
Y-lcth^lin; для очень плоского морфизма f, имеется также точный
функтор f^!: X-lcth \to Y-lcth.
Для квазикомпактной полуотделимой схемы X, из предложения IV.5.1
(и его двойственной версии) следует, что естественные функторы
D^-(X-qcoh^fl) \to D^-(X-qcoh) и D^+(X-lcth^lin) \to
D^+(X-lcth) являются эквивалентностями триангулированных
категорий. Это позволяет определить, для любого морфизма
f: Y \to X в квазикомпактную полуотделимую схему X, производные
функторы обратного образа Lf^*: D^-(X-qcoh) \to D^-(Y-qcoh) и
Rf^!: D^+(X-lcth) \to D^+(Y-lcth), применяя функторы
f^* и f^! к (соответственно ограниченным) комплексам плоских
пучков и локально инъективных копучков.
Согласно результатам раздела IV.7, естественные функторы
D(X-qcoh^fl)^fl \to D(X-qcoh) и D(X-lcth_\W^lin)^lin \to
D(X-lcth_\W) являются эквивалентностями триангулированных категорий
для любого открытого покрытия \W квазикомпактной полуотделимой
схемы X. Это позволяет определить, для любого морфизма f: Y \to X
в квазикомпактную полуотделимую схему X, производные функторы
обратного образа Lf^*: D(X-qcoh) \to D(Y-qcoh) и Rf^!: D(X-lcth_\W)
\to D(Y-lcth_\T), применяя функторы f^* и f^! к гомотопически
плоским комплексам плоских пучков и гомотопически локально
инъективным комплексам локально инъективных копучков. Здесь \T
обозначает любое покрытие Y, превращающее f в (\W,\T)-коаффинный
морфизм. (Разумеется, в случае квазикогерентных пучков эта
конструкция хорошо известна; мы обсуждаем здесь случаи пучков
и копучков вместе, чтобы подчеркнуть двойственность-аналогию
между ними.)
Легко видеть непосредственно из определений, что для любого
морфизма квазикомпактных полуотделимых схем f: Y \to X функтор
Lf^*: D^-(X-qcoh) \to D^-(Y-qcoh) сопряжен слева к функтору
Rf_*: D^-(Y-qcoh) \to D^-(X-qcoh) и функтор Rf^!: D^+(X-lcth) \to
D^+(Y-lcth) сопряжен справа к функтору LF_!: D^+(Y-lcth) \to
D^+(X-lcth). Из конструкции в теореме IV.7.1 нетрудно заключить
также, что функтор Lf^*: D(X-qcoh) \to D(Y-qcoh) сопряжен слева
к функтору Rf_*: D(Y-qcoh) \to D(X-qcoh). Чтобы показать, что
функтор Rf^!: D(X-lcth_\W) \to D(Y-lcth_\T) сопряжен справа
к функтору Lf_!: D(Y-lcth) \to D(X-lcth), можно воспользоваться
леммой IV.7.2. Таким образом, мы построили функтор
экстраординарного обратного образа комплексов квазикогерентных
пучков f^! для морфизма квазикомпактных полуотделимых схем f как
производный функтор Rf^! точного функтора f^!: X-lcth^lin \to
Y-lcth^lin между точными категориями локально инъективных локально
контрагерентных копучков (ср. Hartshorne [R&D]; Neeman [BB]).
IV.9. Конечная плоская и локально инъективная размерность
Морфизм схем f: Y \to X называется морфизмом конечной
плоской размерности, если существует такое неотрицательное целое D,
что для любых аффинных открытых подсхем U \sub X и V \sub Y, таких
что f(V) \sub U, O_X(U)-модуль O_Y(V) имеет плоскую размерность,
не превосходящую D. Морфизм f называется морфизмом конечной очень
плоской размерности, если выполнена аналогичная оценка для очень
плоских размерностей O_X(U)-модулей O_Y(V). Здесь очень плоская
размерность модуля над коммутативным кольцом определяется как
минимальная длина его очень плоской левой резольвенты; очень
плоская размерность модуля отличается не больше, чем на единицу,
от его проективной размерности.
Для любого морфизма конечной плоской размерности в квазикомпактную
полуотделимую схему f: Y \to X и любого символа * \ne ctr,
производный функтор Lf^*: D^*(X-qcoh) \to D^*(Y-qcoh) строится
следующим образом. Назовем квазикогерентный пучок F на X
приспособленным к f, если для любых аффинных открытых подсхем
U \sub X и V \sub Y, таких что f(V) \sub U,
Tor^{O(U)}_i(O(V),F(U)) = 0 для всех i > 0. Квазикогерентные пучки
на X, приспособленные к f, образуют полную подкатегорию
X-qcoh^{f-adj} \sub X-qcoh, замкнутую относительно расширений, ядер
сюръективных отображений и бесконечных прямых сумм, и такую, что
всякий квазикогерентный пучок на X имеет конечную левую резольвенту
из объектов X-qcoh^{f-adj}. Согласно теореме IV.5.2, отсюда
следует, что естественный функтор D^*(X-qcoh^{f-adj}) \to
D^*(X-qcoh) является эквивалентностью триангулированных категорий
для всех * \ne ctr.
Точный справа функтор f^*: X-qcoh \to Y-qcoh ограничивается до
точного функтора f^*: X-qcoh^{f-adj} \to Y-qcoh. Ввиду
эквивалентности триангулированных категорий выше, индуцированный
функтор на производный категориях f^*: D^*(X-qcoh^{f-adj}) \to
D^*(Y-qcoh) доставляет искомый производный функтор Lf^*. Для
любого морфизма конечной плоской размерности квазикомпактных
полуотделимых схем f: Y \to X, функтор Lf^* сопряжен слева
к функтору Rf_*: D^*(Y-qcoh) \to D^*(X-qcoh), построенному
в разделе IV.8.
Для любого морфизма конечной очень плоской размерности
в квазикомпактную полуотделимую схему f: Y \to X и любого символа
* \ne co, производный функтор Rf^!: D^*(X-lcth) \to D^*(Y-lcth)
строится следующим образом. Назовем \W-локально контрагерентный
копучок F на X приспособленным к f, если для любых аффинных
открытых подсхем U \sub X и V \sub Y, таких что U подчинена \W и
f(V) \sub U, Ext_{O(U)}^i(O(V),F(U)) = 0 для всех i > 0. Нетрудно
видеть, что свойство приспособленности F к f не меняется при
измельчении покрытия \W. Локально контрагерентные копучки на X,
приспособленные к f, образуют полную подкатегорию X-lcth^{f-adj}
\sub X-lcth, замкнутую относительно расширений, коядер допустимых
мономорфизмов и бесконечных произведений, и такую, что всякий
\W-локально контрагерентный копучок на X имеет конечную правую
резольвенту из объектов X-lcth^{f-adj} \cap X-lcth_\W =
X-lcth_\W^{f-adj}. Согласно двойственной версии теоремы IV.5.2,
отсюда следует, что естественный функтор D^*(X-lcth^{f-adj}) \to
D^*(X-lcth) является эквивалентностью триангулированных категорий
для всех * \ne co, как и аналогичные функторы
D^*(X-lcth_\W^{f-adj}) \to D^*(X-lcth_\W).
Конструкция точного функтора f^!: X-lcth^lin \to Y-lcth^lin,
изложенная в разделе III.2, продолжается без каких-либо изменений
на случай копучков из X-lcth^{f-adj}, определяя точный функтор
f^!: X-lcth^{f-adj} \to Y-lcth (переводящий \W-локально
контрагерентные копучки в \T-локально контрагерентные, если морфизм
f является (\W,\T)-коаффинным). Ввиду эквивалентности
триангулированных категорий выше, индуцированный функтор
на производных категориях f^!: D^*(X-lcth^{f-adj}) \to D^*(Y-lcth)
доставляет искомый производный функтор Rf^!.
Для любого морфизма конечной очень плоской размерности
квазикомпактных полуотделимых схем f: Y\to X, построенный таким
образом функтор Rf^! сопряжен справа к функтору Lf_!: D^*(Y-lcth)
\to D^*(X-lcth), построенному в разделе IV.8. Для плоского морфизма
в квазикомпактную полуотделимую схему f: Y \to X аналогичным образом
можно построить производный функтор Rf^!: D^*(X-lcth^lct) \to
D^*(Y-lcth^lct); для плоского морфизма квазикомпактных полуотделимых
схем f, этот функтор сопряжен справа к функтору
Lf_!: D^*(Y-lcth^lct) \to D^*(X-lcth^lct).
Квазикогерентный пучок F на схеме X называется пучком плоской
размерности, не превосходящей d, если плоская размерность
O(U)-модуля F(U) не превосходит d для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X. Когда любой квазикогерентный пучок на X
является факторпучком плоского квазикогерентного пучка (например,
если X квазикомпактна и полуотделима), пучок F имеет плоскую
размерность \le d тогда и только тогда, когда он имеет плоскую
левую резольвенту длины \le d. Очевидно, свойство иметь плоскую
размерность, не превосходящую d, является локальным для
квазикогерентного пучка. Квазикогерентные копучки конечной
плоской размерности образуют полную подкатегорию X-qcoh^ffd \sub
X-qcoh, замкнутую относительно расширений и ядер сюръекций;
полная подкатегория X-qcoh^ffd-d квазикогерентных копучков
плоской размерности, не превосходящей d, замкнута относительно
тех же операций, и кроме того, бесконечных прямых сумм.
\W-локально контрагерентный копучок P на схеме X называется
копучком локально инъективной размерности, не превосходящей d,
если инъективная размерность O(U)-модуля P(U) не превосходит d для
любой аффинной открытой подсхемы U \sub X, подчиненной \W. Когда
любой \W-локально контрагерентный копучок на X допускает допустимый
мономорфизм в локально инъективный \W-локально контрагерентный
копучок (напрмер, если X квазикомпактна и полуотделима), копучок P
имеет локально инъективную размерность \le d тогда и только тогда,
когда он имеет локально инъективную резольвенту длины \le d.
Свойство иметь локально контрагерентного пучка иметь локально
инъективную размерность, не превосходящую d, является локальным и,
в частности, не меняется при измельчении покрытия \W.
\W-локально контрагерентные копучки конечной локально инъективной
размерности образуют полную подкатегорию X-lcth_\W^flid \sub
X-lcth_\W, замкнутую относительно расширений и коядер допустимых
мономорфизмов; полная подкатегория X-lcth_\W^flid-d \W-локально
контрагерентных копучков локально инъективной размерности,
не превосходящей d, замкнута относительно тех же операций и, кроме
того, бесконечных произведений. Объединение точных категорий
X-lcth_\W^flid по измельчающимся покрытиям \W мы обозначим через
X-lcth^flid. Отметим, что функтор обратного образа при очень
плоском (\W,\T)-коаффинном морфизме f: Y \to X отображает
X-lcth_\W^flid в Y-lcth_\T^flid, а фунтор прямого образа при
(\W,\T)-аффинном морфизме f конечной плоской размерности
отображает Y-lcth_\T^flid в X-lcth_\W^flid. Поэтому так же,
как в разделе III.2, можно показать, что на квазикомпактной
полуотделимой схеме X всякий пучок из X-lcth_\W^flid имеет
конечную левую резольвенту копучками из X-ctrh^flid =
X-ctrh \cap X-lcth^flid. Ввиду предложения IV.5.2, отсюда следует,
что естественный функтор D^*(X-ctrh^flid) \to D^*(X-lcth_\W^flid)
является эквивалентностью категорий для всех * \ne co, а функтор
D^*(X-lcth_W^flid) \to D^*(X-lcth^flid) является эквивалентностью
категорий для всех * \ne co, ctr.
Согласно предложению IV.5.2, для любой квазикомпактной
полуотделимой схемы X и символа * \ne co, ctr, функтор
D^*(X-qcoh^fl) \to D^*(X-qcoh^ffd) является эквивалентностью
триангулированных категорий. Такой же эквивалентностью является
и функтор D^co(X-qcoh^fl) \to D^co(X-qcoh^ffd-d) для любого
неотрицательного целого d. Пользуясь этими эквивалентностями, для
любого морфизма в квазикомпактную полуотделимую схему f: Y \to X
можно построить производный функтор Lf^*: D^*(X-qcoh^ffd) \to
D^*(Y-qcoh^ffd), а также производный функтор
Lf^*: D^co(X-qcoh^ffd-d) \to D^co(X-qcoh^ffd-d) как функторы,
индуцированные точным функтором f^*: X-qcoh^fl \to Y-qcoh^fl.
Аналогично, для любой квазикомпактной полуотделимой схемы X и
символа * \ne co, ctr, функтор D^*(X-lcth^lin) \to D^*(X-lcth^flid)
является эквивалентностью категорий. Такой же эквивалентностью
является и функтор D^co(X-lcth_\W^lin) \to D^co(X-lcth_\W^flid-d)
для любого покрытия \W и неотрицательного целого d. Пользуясь
этими эквивалентностями, для любого морфизма в квазикомпактную
полуотделимую схему f: Y \to X можно построить производный функтор
Rf^!: D^*(X-lcth^flid) \to D^*(Y-lcth^flid), а также производный
функтор Rf^!: D^co(X-lcth_\W^flid-d) \to D^co(Y-lcth_\T^flid-d)
для покрытий \W и \T, превращающих f в (\W,\T)-коаффинный морфизм,
как функторы, индуцированные точным функтором f^!: X-lcth_\W^lin
\to Y-lcth_\T^lin.
Из леммы IV.1.6а) и рассуждений в разделе IV.6 ясно, что всякий
квазикогерентный пучок плоской размерности, не превосходящей d,
на квазикомпактной полуотделимой схеме Y допускает конечную правую
резольвенту, составленную из контраприспособленных квазикогерентных
пучков плоской размерности, не превосходящей d. Отсюда следует,
что функтор D^*(Y-qcoh^cta \cap Y-qcoh^ffd-d) \to D^*(Y-qcoh^ffd-d)
является эквивалентностью категорий для всех символов * \ne ctr.
Рассуждая так же, как в разделе IV.1, нетрудно показать, что всякий
квазикогерентный пучок из Y-qcoh^cta \cap Y-qcoh^ffd-d является
прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых образов
квазикогерентных пучков из V-qcoh^cta \cap V-qcoh^ffd-d с вложений
аффинных открытых подсхем V \sub Y. Отсюда видно, что функтор
прямого образа при морфизме конечной плоской размерности D
квазикомпактных полуотделимых схем f: Y \to X отображает
Y-qcoh^cta \cap Y-qcoh^ffd-d в X-qcoh^cta \cap X-qcoh^{ffd-d+D}.
Переходя к индуцированному функтору между производными категориями
и используя эквивалентность производных категорий выше, мы
получаем производный функтор Rf_*: D^*(Y-qcoh^ffd-d) \to
D^*(X-qcoh^{ffd-d+D}), сопряженный справа к функтору Lf^*,
построенному выше.
Из леммы IV.2.3а) и рассуждений в разделе IV.6 ясно, что всякий
\T-локально контрагерентный копучок локально инъективной
размерности, не превосходящей d, на квазикомпактной полуотделимой
схеме Y допускает конечную левую резольвенту в точной категории
Y-lcth_\T, составленную из колокально проективных контрагерентных
копучков локально инъективной размерности, не превосходящей d.
Отсюда следует, что функтор D^*(Y-ctrh^clp \cap Y-lcth_\T^flid-d)
\to D^*(Y-lcth_\T^flid-d) является эквивалентностью категорий для
всех символов * \ne co.
Рассуждая так же, как в разделе IV.2, нетрудно убедиться, что
всякий контрагерентный копучок из Y-ctrh^clp \cap Y-lcth^flid-d
является прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых
образов контрагерентных копучков из V-ctrh^clp \cap V-lcth^flid-d
с вложений аффинных открытых подсхем V \sub Y. Отсюда видно, что
функтор прямого образа при морфизме конечной плоской размерности D
квазикомпактных полуотделимых схем f: Y \to X отображает
Y-ctrh^clp \cap Y-lcth^flid-d в X-ctrh^clp \cap X-lcth^{flid-d+D}.
Переходя к индуцированному функтору между производными категориями
и используя эквивалентность производных категорий выше, мы
получаем производный функтор Lf_!: D^*(Y-lcth^flid-d) \to
D^*(X-lcth^flid-d+D). Здесь, как и выше, под D^ctr(Y-lcth^flid-d)
подразумевается прямой предел (эквивалентных) триангулированных
категорий D^ctr(Y-lcth_\W^flid-d) по измельчающимся покрытиям \W.
Полученный функтор Lf_! сопряжен слева к функтору Rf^!,
построенному выше.
Продолжение http://posic.livejournal.com/817265.html?m
IV.6. "Наивное" ко-контра соответствие
Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Обозначим
через X-qcoh абелеву категорию квазикогерентных пучков на X, через
X-сtrh точную категорию контрагерентных копучков на X, и через
X-lcth точную категорию локально контрагерентных копучков на X.
Теорема. Для любого символа * = b, +, -, \emptyset, +abs, -abs или
abs имеются естественные эквивалентности триангулированных
категорий D^*(X-qcoh) = D^*(X-ctrh) = D^*(X-lcth). Эквивалентность
между последними двумя категориями индуцирована естественным
вложением точных категорий X-ctrh \to X-lcth. Указанные
эквивалентности образуют коммутативные диаграммы с естественными
функторами D^b \to D^+, D^- \to D, D^b \to D^+abs, D^-abs \to
D^abs, D^\abs \to D, D^+abs \to D^+, D^-abs \to D^- между разными
вариантами производных категорий одной и той же точной категории.
Доказательство: пусть X-qcoh^cta обозначает точную категорию
контраприспособленных квазикогерентных пучков на X и X-ctrh^clp
обозначает точную категорию колокально проективных контрагерентных
копучков на X. Тогда из предложения IV.5.2 вместе с результатами
разделов III.2 и IV.2 следует, что триангулированные функторы
D^*(X-ctrh^clp) \to D^*(X-ctrh), D^*(X-ctrh^clp) \to D^*(X-lcth),
индуцированные вложениями точных категорий X-ctrh^clp \to
X-ctrh \to X-lcth, являются эквивалентностями триангулированных
категорий. Аналогично, из результатов раздела IV.1 (вместе
с существованием конечной резольвенты Чеха квазикогерентного пучка
и существованием двучленной контраприспособленной резольвенты
модуля над коммутативным кольцом) следует, что триангулированные
функторы D^*(X-qcoh^cta) \to D^*(X-qcoh), индуцированные вложением
точных категорий X-qcoh^cta \to X-qcoh, является эквивалентностями
категорий.
Остается построить естественную эквивалентность точных категорий
X-qcoh^cta \simeq X-ctrh^clp. Согласно результатам разделов II.5,
II.6 и III.3, имеются функторы O_X\ocn_X - : X-lcth \to X-qcoh и
fHom_X(O_X,-): X-qcoh^cta \to X-ctrh, связанные изоморфизмом
сопряжения, имеющим место для тех объектов, на которых второй
функтор определен. Мы покажем, что на квазикомпактной
полуотделимой схеме X первый функтор отображает X-ctrh^clp в
X-qcoh^cta, второй функтор отображает X-qcoh^cta в X-ctrh^clp,
и ограничения этих функторов на эти подкатегории взаимно-обратны.
Очевидно, на аффинной схеме U функтор fHom_U(O_U,-) отображает
контраприспособленный квазикогерентный пучок F с O(U)-модулем
глобальных сечений O(U) в контрагерентный копучок P c O(U)-модулем
глобальных косечений P(U) = F(U). Далее, если j: U \to X --
вложение аффинной открытой подсхемы, то, согласно результату из
раздела III.4, имеется естественный изоморфизм контрагерентных
копучков fHom_X(O_X,j_*F) = j_!P на X. Аналогично, функтор
O_U\ocn_U - отображает контрагерентный копучок P с O(U)-модулем
глобальных косечений P(U) в контраприспособленный квазикогерентный
пучок F с O(U)-модулем глобальных сечений F(U) = P(U). Если
задано вложение аффинной открытой подсхемы j: U \to X, то имеется
естественный изоморфизм квазикогерентных пучков O_X\ocn_X j_!P
= j_*F на X.
Согласно лемме IV.1.6б), всякий пучок из X-qcoh^cta является
прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых образов
контраприспособленных квазикогерентных пучков с аффинных открытых
подсхем X. Из определения функтора fHom_X(O_X,-) ясно, что он
сохраняет точность коротких последовательностей
контраприспособленных квазикогерентных пучков; так что он
сохраняет, в частности, и такие итерированные расширения.
Согласно лемме IV.2.3б) (см. также следствие IV.2.2) всякий копучок
из X-ctrh^clp является прямым слагаемым конечно итерированного
расширения прямых образов контрагерентных копучков с аффинных
открытых подсхем X. Из изоморфизма сопряжения
Hom_X(O_X\ocn_X P, F) = Hom^X(P, fHom_X(O_X,F)), имеющего место
для любого контрагерентного копучка P и контраприспособленного
квазикогерентного пучка F, вместе с тем фактом, что контрагерентный
копучок fHom_X(O_X,J) локально инъективен для любого инъективного
квазикогерентного пучка J на X, ясно, что функтор P \mpsto
Hom_X(O_X\ocn_X P, J) сохраняет точность троек колокально
проективных контрагерентных копучков P, а следовательно, точность
таких троек сохраняет и функтор O_X\ocn_X -. Теорема доказана.
IV.7. Гомотопически локально инъективные комплексы
Целью этого раздела является построение полной
триангулированной подкатегории в неограниченной производной
категории локально инъективных \W-локально контрагерентных
копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме X, эквивалентной
неограниченной производной категории всех \W-локально
контрагерентных копучков. Значение этой конструкции проще
всего проиллюстрировать в рамках двойственность-аналогии
контрагерентных копучков с квазикогерентными пучками.
Введем некоторые обозначения. Для любого открытого покрытия \W
схемы X, будем обозначать через X-lcth_\W точную категорию
\W-локально контрагерентных копучков на X. Обозначим через
X-qcoh^fl и X-lcth_\W^lin, соответственно, точные категории плоских
квазикогерентных пучков и локально инъективных \W-локально
контрагерентных копучков на схеме X.
Полная триангулированная подкатегория D(X-qcoh^fl)^fl \sub
D(X-qcoh^fl) гомотопически плоских комплексов плоских
квазикогерентных пучков определяется как минимальная полная
триангулированная подкатегория, содержащая ограниченные сверху
комплексы в D(X-qcoh^fl) и замкнутая относительно расширений.
Следующий результат принадлежит, по существу, Спалтенштейну [Sp].
Теорема 1. Для любой квазикомпактной полуотделимой схемы X,
композиция естественных триангулированных функторов
D(X-qcoh^fl)^fl \to D(X-qcoh^fl) \to D(X-qcoh) является
эквивалентностью триангулированных категорий. Комплекс плоских
квазикогерентных пучков F на X принадлежит D(X-qcoh^fl)^fl
тогда и только тогда, когда его тензорное произведение над O_X
с любым ацикличным комплексом квазикогерентных пучков является
ацикличным комплексом (квазикогерентных пучков).
Доказательство: по поводу первого утверждения, см.
http://posic.livejournal.com/825493.html и далее по ссылкам.
Доказательство второго утверждения аналогично (и проще), чем
доказательство второго утверждения теоремы 2 ниже.
Полная триангулированная подкатегория D(X-lcth_\W^lin)^lin \sub
D(X-lcth_\W^lin) гомотопически локально инъективных комплексов
локально инъективных \W-локально контрагерентных копучков
определяется как минимальная полная триангулированная подкатегория,
содержащая ограниченные снизу комплексы в D(X-lcth_\W^lin) и
замкнутая относительно бесконечных произведений.
Теорема 2. Для любой квазикомпактной полуотделимой схемы X
с открытым покрытием \W, композиция естественных триангулированных
функторов D(X-lcth_\W^lin)^lin \to D(X-lcth_\W^lin) \to
D(X-lcth_\W) является эквивалентностью категорий. Комплекс
локально инъективных \W-локально контрагерентных копучков F на X
принадлежит D(X-lcth_\W^lin)^lin тогда и только тогда, когда
комплекс Cohom_X в него из любого ацикличного комплекса
квазикогерентных пучков является ацикличным комплексом (\W-локально
контрагерентных копучков, произвольных или локально кокручения).
Доказательство. Для доказательства первого утверждения нам
потребуются, прежде всего, дополнительные обозначения. Пусть
X-ctrh^clp-lin обозначает аддитивную категорию локально инъективных
колокально проективных контрагерентных копучков на X (это точная
подкатегория с тривиальной точной структурой в X-ctrh). Полная
триангулированная подкатегория Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin \sub
Hot(X-ctrh^clp-lin) гомотопически локально инъективных комплексов
локально инъективных колокально проективных контрагерентных
копучков на X определяется как минимальная полная триангулированная
подкатегория, содержащая ограниченные снизу комплексы
в Hot(X-ctrh^clp-lin) и замкнутая относительно бесконечных
произведений.
Как было показано в доказательстве теоремы IV.6, функтор
D(X-ctrh^clp) \to D(X-lcth_\W) является эквивалентностью
триангулированных категорий. Аналогичным образом устанавливается,
что триангулированный функтор Hot(X-ctrh^clp-lin) \to
D(X-lcth_\W^lin) является эквивалентностью, так же, как и похожий
функтор для ограниченных снизу комплексов. Соответственно, второй
функтор отождествляет полные триангулированные подкатегории,
замкнутые относительно расширений, порожденные комплексами,
ограниченными снизу. Таким образом, мы имеем эквивалентность
категорий Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin = D(X-lcth_\W^lin)^lin, и
остается показать, что функтор Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin \to
D(X-ctrh^clp) является эквивалентностью категорий.
Мы покажем, что из всякого комплекса над D(X-ctrh^clp) бьет морфизм
в комплекс, принадлежащий Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin, являющийся
квазиизоморфизмом по отношению к точной категории X-ctrh^clp.
В частности, отсюда будет немедленно следовать, ввиду двойственной
версии леммы 1.6 из Two kinds..., примененной к гомотопической
категории Hot(X-ctrh^clp) с полной триангулированной подкатегорией
Hot(X-ctrh^clp-lin) и толстой подкатегорией комплексов, ацикличных
по отношению к X-ctrh^clp, что категория D(X-ctrh^clp) эквивалентна
локализации D(X-ctrh^clp-lin) по толстой подкатегории комплексов,
ацикличных по отношению к X-ctrh^clp. Согласно двойственной версии
леммы из http://posic.livejournal.com/824808.html , последняя
подкатегория полуортогональна слева к Hot(X-ctrh^clp-lin)^lin
внутри Hot(X-ctrh^clp-lin). Ввиду того же утверждения
о существовании квазиизоморфизма, эти две подкатегории образуют
полуортогональное разложение Hot(X-ctrh^clp-lin), откуда следует
желаемое утверждение.
Лемма 1. Существует такое натуральное N, что для любого комплекса
C^0 \to ... \to C^{N+1} над X-ctrh^clp найдется комплекс
G^0 \to ... \to G^{N+1} над X-ctrh^clp вместе с морфизмом
комплексов C^\bu \to G^\bu, таким что G^0 = 0, а морфизмы
C^N \to G^N и C^{N+1} \to G^{N+1} являются изоморфизмами.
Доказательство. Ввиду эквивалентности категорий X-ctrh^clp =
X-qcoh^cta, достаточно доказать лемму применительно к комплексам
над X-qcoh^cta. Положим G^0 = 0. Рассмотрим квазикогерентный
пучок 'C^1 = coker(C^0\to C^1) и вложим его в контраприспособленный
квазикогерентный пучок G^1. Обозначим через 'C^2 расслоенную
прямую сумму квазикогерентных пучков G^1 и C^2 над 'C^1; тогда
имеется естественный морфизм квазикогерентных пучков 'C^2 \to C^3,
имеющий нулевую композицию с морфизмом G^1 \to 'C^2 и образующий
коммутативную диаграмму с морфизмами C^2 \to 'C^2 и C^2 \to C^3.
Вложим квазикогерентный пучок 'C^2 в контраприспособленный
квазикогерентный пучок G^2, рассмотрим расслоенную прямую сумму
'C^3 квазикогерентных пучков G^2 и С^3 над 'C^2, и так далее.
Последовательность 0 \to 'C^1 \to G^1\oplus C^2 \to G^2\oplus C^3
\to ... \to 'C^{N-1} является резольвентой квазикогерентного пучка
'C^1, в которой все члены, кроме, может быть, самого правого, суть
контраприспособленные квазикогерентные пучки. Ввиду соображений
об F-гомологических размерностях из раздела IV.5 и существования
правой контраприспособленной резольвенты ограниченной длины
у любого квазикогерентного копучка на X, при достаточно большом N
пучок 'C^{N-1} будет контраприспособлен. Остается положить
G^{N-1} = 'C^{N-1}, G^N = C^N, и G^{N+1} = C^{N+1}.
Лемма 1 доказана.
Пусть теперь C -- комплекс над X-ctrh^clp. Для каждого фрагмента
из N+2 последовательных членов C^{i-1} \to ... \to C^{i+N} в этом
комплексе построим соответствующий комплекс {}^(i)G^{i-1} \to ...
\to {}^(i)G^{i+N} как в лемме 1. Доопределим {}^(i)G^j = 0 при
j < i и {}^(i)G^j = C^j при j \ge i + N. Получится ограниченный
снизу комплекс {}^(i)}G, снабженный морфизмом комплексов C \to
{}^(i)G, являющимся изоморфизмом во всех членах степени \ge i + N.
Обозначим через {}^(0)}D = D(C) прямое произведение всех комплексов
{}^(i)G. Морфизм комплексов C \to D является в каждом члене
допустимым (и даже расщепимым) мономорфизмом в точной категории
X-qcoh^cta; рассмотрим коядро этого морфизма комплексов и применим
к нему ту же конструкцию, получая почленно стягиваемый комплекс
комплексов 0 \to C \to {}^(0)D \to {}^(1)D \to ..., в котором все
комплексы {}^(i)D являются бесконечными произведениями комплексов
над X-qcoh^cta, ограниченных снизу.
Пусть F обозначает тотальный комплекс бикомплекса {}^(\bu)D^\bu,
построенный с помощью взятия бесконечных произведений вдоль
диагоналей. Как объяснено в жж-постинге по ссылке выше, комплекс F
принадлежит D(X-ctrh^clp-lin)^lin, так что остается показать, что
конус морфизма C \to F ацикличен по отношению к точной категории
X-ctrh^clp. Как ясно из рассуждений по той же ссылке, для любой
аффинной открытой подсхемы U \sub X комплекс косечений этого
комплекса копучков над U ацикличен. Остается показать, что
ковариантные функторы на категории аффинных открытых подмножеств
U \sub X, сопоставляющие каждому U O(U)-модуль i-коциклов
соответствующего комплекса косечений, определяют колокально
проективные контрагерентные копучки. Поскольку фактормодуль
контраприспособленного модуля контраприспособлен, эти O(U)-модули
контраприспособлены. Поскольку функтор Hom_{O(U)}(O(V),-) для
аффинной открытой подсхемы U \sub V сохраняет точность троек
контраприспособленных модулей, функторы, о которых идет речь,
соответствуют контрагерентным копучкам. Поскольку всякий копучок
из X-ctrh допускает конечную левую резольвенту копучками из
X-ctrh^clp, наши копучки коциклов принадлежат последней категории.
Первое утверждение теоремы доказано; докажем второе. Покажем
прежде всего, что Cohom из любого комплекса квазикогерентных
пучков в комплекс локально контрагерентных копучков, ацикличный
по отношению к точной категории X-lcth_\W^lin, ацикличен по
отношению к точной категории X-lcth_\W^lct \W-локально
контрагерентных копучков локально кокручения. В самом деле,
любой комплекс в абелевой категории является локально
стабилизирующимся прямым пределом конечных комплексов. Поэтому
достаточно проверять утверждение в случае комплекса
квазикогерентных пучков с единственным ненулевым членом, в каковом
случае оно очевидно. Таким образом, категория всех комплексов
\W-локально контрагерентных копучков, удовлетворяющих нашему
условию на функтор Cohom, может рассматриваться как строго полная
триангулированная подкатегория в D(X-lcth_\W^lin).
Теперь утверждение "только тогда" легко следует из согласованности
функтора Cohom с бесконечными произведениями по второму аргументу
и его точности как функтора на категории квазикогерентных пучков
при фиксированном втором аргументе -- локально инъективном локально
контрагерентном копучке. Ввиду (доказательства) первого
утверждения теоремы, чтобы проверить "тогда", достаточно убедиться,
что всякий комплекс над X-lcth_\W^lin, удовлетворяющий условию на
Cohom и ацикличный по отношению к X-lcth_\W, ацикличен также и по
отношению к X-lcth_\W^lin.
Заметим, что Cohom из ограниченного сверху комплекса очень плоских
квазикогерентных пучков в комплекс \W-локально контрагерентных
копучков, ацикличный по отношению к X-lcth_\W, ацикличен по
отношению к X-lcth_\W. Поскольку у всякого квазикогерентного пучка
на X есть очень плоская левая резольвента, отсюда следует, что если
Cohom из любого ацикличного комплекса квазикогерентных пучков
в фиксированный комплекс C \W-локально контрагерентных копучков,
ацикличный по отношению к X-lcth_\W, ацикличен по отношению
к X-lcth_W, то тем же свойством обладает и Cohom в C из любого
квазикогерентного пучка на X (рассматриваемого как одночленный
комплекс).
Пусть теперь U -- аффинная открытая подсхема в X, подчиненная \W,
М -- O(U)-модуль, рассматриваемый также как квазикогерентный пучок
на U, и N -- какое-нибудь квазикогерентное продолжение (например,
прямой образ) M на X. Тогда точность комплекса Cohom_X(N,C) по
отношению к точной категории X-lcth_\W влечет, в частности,
точность комплекса O(U)-модулей Hom_{O(U)}(M,C(U)). Поскольку
это выполнено для всех O(U)-модулей M, в ацикличном комплексе
инъективных O(U)-модулей C(U) все O(U)-модули коциклов инъективны.
Теорема доказана.
Нам понадобится также следующий вспомогательный результат.
Лемма 2. Пусть C -- комплекс над точной категорией X-ctrh^clp,
а D -- комплекс, принадлежащий D(X-lcth_\W^lin)^lin. Тогда
комплекс абелевых групп Hom^X(C,D) вычисляет группы морфизмов
Hom_{D(X-lcth_\W)}(C,D) в производной категории локально
контрагерентных копучков.
Доказательство. Поскольку во всякий комплекс над X-lcth_\W
квазиизоморфно отображается некоторый комплекс над X-ctrh^clp, и
любой комплекс над X-ctrh^clp, ацикличный над X-lcth_\W, ацикличен
также и над X-ctrh^clp, достаточно показать, что комплекс абелевых
групп Hom^X(C,D) ацикличен для любого комплекса C, ацикличного по
отношению к X-ctrh^clp, и комплекса D из D(X-lcth_\W^lin)^lin.
Для комплекса D, который может быть получен из ограниченных снизу
комплексов над X-lcth_\W^lin с помощью итерированных операций
бесконечного произведения и конуса в Hot(X-lcth_\W^lin), последнее
утверждение очевидно, так что остается разобрать случай комплекса
D, ацикличного по отношению к X-lcth_\W^lin. В этом случае мы
покажем, что комплекс Hom^X(C,D) ацикличен для любого комплекса C
над X-ctrh^clp.
Пусть i \in \Z. Пользуясь леммой 1, мы можем построить, как
в доказательстве теоремы выше, морфизм комплексов g: C \to G над
X-ctrh^clp, такой что G^j = 0 при j < i и C^j \to G^j -- изоморфизм
при j \ge i + N. Рассмотрим коконус этого морфизма cocone(f).
Все дифференциалы его, начиная с того, что действует между членами
с номерами i + N и i + N + 1 и выше, являются расщепимыми
морфизмами (т.е., композициями проекции на прямоге слагаемое и
вложения прямого слагаемого) в аддитивной категории X-ctrh^clp.
Поэтому комплекс cocone(f) разлагается в прямую сумму комплекса,
сосредоточенного в степенях \le i + N +1 и (стягиваемого)
комплекса, сосредоточенного в степенях \ge i + N +1. Нас
интересует первое слагаемое. Eго глупое обрезание F(j,i),
с сохраненными членами начиная с номера j и выше, является конечным
комплексом, сосредоточенным между градуировками j и i + N + 1,
отображающимся в C, причем отображение это является почленным
изоморфизмом в градуировках между j и i.
Комплекс С является почленно стабилизирующимся индуктивным пределом
последовательности комплексов F(j,i) по убывающим степеням j и
(достаточно быстро) возрастающим степеням i. Поэтому бикомплекс
Hom^X(C,D) является почленно стабилизирующимся проективным
пределом последовательности бикомплексов Hom^X(F(j,i),D), и
точность тотализации первого, образованной с помощью взятия
бесконечных произведений вдоль диагоналей, следует из точности
тотализаций последних. Но комплексы F(j,i) конечны, и остается
вспомнить, что функтор Hom^X из колокально проективного
контрагерентного копучка сохраняет точность троек локально
инъективных локально контрагерентных копучков. Лемма 2 доказана.
IV.8. Производные функторы прямого и обратного образа
Везде в этом и следующем разделах, если не оговорено
обратное, * обозначает один из символов b, +, -, \empty,
+abs, -abs, co, ctr, или abs.
Отметим, что согласно предложению IV.5.2 естественный функтор
D^*(X-ctrh) \to D^*(X-lcth_\W) является эквивалентностью
триангулированных категорий для любого символа * \ne co и
любого покрытия \W квазикомпактной полуотделимой схемы X; то же
относится к функтору D^*(X-lcth_W) \to D^*(X-lcth), если
* \ne co, ctr. Для любой схемы X, мы будем обозначать через
D^ctr(X-lcth) прямой предел триангулированных категорий
D^ctr(X-lcth_\W) по измельчающимся покрытиям \W.
Пусть f: Y \to X -- морфизм квазикомпактных полуотделимых схем.
Тогда для любого символа * \ne ctr, производный функтор прямого
образа Rf_*: D^*(Y-qcoh) \to D^*(X-qcoh) строится следующим
образом. Как было показано в разделах IV.5-6, триангулированный
функтор D^*(Y-qcoh^cta) \to D^*(Y-qcoh) является эквивалентностью
категорий (как и аналогичный функтор для пучков над X). Покажем,
что функтор прямого образа f_*: Y-qcoh \to X-qcoh отображает
Y-qcoh^cta в X-qcoh^cta и является точным функтором между этими
точными категориями. После этого производный функтор Rf_* будет
определяться с помощью ограничения функтора прямого образа
f_*: Hot(Y-qcoh) \to Hot(X-qcoh) на полную подкатегорию комплексов
пучков из Y-qcoh^cta (с подходящими свойствами ограниченности).
Из леммы IV.1.6б) нетрудно вывести, что обратный образ
контраприспособленного квазикогерентного пучка при аффинном
морфизме в квазикомпактную полуотделимую схему является
прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых
образов квазикогерентных пучков с аффинных открытых подсхем.
Функтор глобальных сечений точен на точной категории
квазикогерентных пучков, представимых в виде таких расширений,
ввиду изоморфизма Ext_U^i(g^*F,G)=Ext_V^i(F,g_*G) для
квазикогерентных пучков F, G на V, U и плоского аффинного
морфизма g: U \to V (примененного к пучку F = O_V). Поэтому
функтор f_* сохраняет точность троек пучков из Y-qcoh^cta.
Остается вспомнить, что класс контраприспособленных
квазикогерентных пучков сохраняется прямыми образами при
аффинных морфизмах, как было отмечено в разделе II.5.
Для любого символа * \ne co, производный функтор прямого образа
Lf_!: D^*(Y-lcth) \to D^*(X-lcth) строится следующим образом.
Как было показано в разделах IV.5-6, триангулированный функтор
D^*(Y-ctrh^clp) \to D^*(Y-lcth) является эквивалентностью
категорий (как и аналогичный функтор для копучков на X).
Мы определим функторы прямого образа колокально проективных
контрагерентных копучков f_*: Y-ctrh^clp \to X-ctrh^clp для всех
морфизмов квазикомпактных полуотделимых схем f: X \to Y. После
этого функтор Lf_! будет определяться как индуцированный функтор
D^*(Y-ctrh^clp) \to D^*(X-ctrh^clp) с помощью отождествлений
триангулированных категорий, упомянутых выше.
Согласно следствию IV.2.3б), функтор обратного образа при аффинном
открытом вложении переводит колокально проективные копучки
в колокально проективные. Согласно результатам раздела IV.3,
функтор глобальных косечений точен на категории колокально
проективных контрагерентных копучков. Поэтому для любой аффинной
открытой подсхемы U \sub X, функтор, сопоставляющий колокально
проективному контрагерентному копучку F на Y его O(U)-модуль
косечений F(f^{-1}(U)) является точным. В случае, когда
копучок F является прямым образом контрагерентного копучка G
с вложения аффинной открытой подсхемы j: V \to Y, правило
U \mpsto F(f^{-1}(U)) определяет контрагерентный копучок (fj)_!G
на X, являющийся колокально проективным согласно следствию
IV.2.3а). Поскольку контрагерентные копучки образую полную
точную подкатегорию, замкнутую относительно расширений, в точной
категории копучков на X, описанной в разделе IV.4, для любого
колокально проективного контрагерентного копучка F на Y то же
правило определяет колокально проективный контрагерентный копучок
f_!F на X.
Аналогичным образом строится производный функтор прямого образа
Lf_!: D^*(Y-lcth^lct) \to D^*(X-lcth^lct), где X-lcth^lct
обозначает точную категорию локально контрагерентных копучков
локально кокручения на X, и аналогично для Y.
Теорема. Для любого символа * \ne co, ctr эквивалентности
категорий D^*(Y-qcoh) = D^*(Y-lcth) и D^*(X-qcoh) = D^*(X-lcth)
из теоремы IV.6 преобразуют функтор Rf_* в функтор Lf_!.
Доказательство. Достаточно показать, что эквивалентности точных
категорий Y-qcoh^cta = Y-ctrh^clp и X-qcoh^cta = X-ctrh^clp из
доказательства теоремы IV.6 переводят функтор f_* в функтор f_!.
В самом деле, доказательство коммутации функторов f_* и f_!
с функтором fHom, данное в разделе III.4, проходит и для
неаффинного морфизма f.
Обозначим через X-lcth^lin объединение точных категорий
X-lcth_\W^lin по измельчающимся покрытиям \W. Согласно
разделу III.2, для любого морфизма в полуотделимую схему f: Y \to X
имеется точный функтор обратного образа f^!: X-lcth^lin \to
Y-lcth^lin; для очень плоского морфизма f, имеется также точный
функтор f^!: X-lcth \to Y-lcth.
Для квазикомпактной полуотделимой схемы X, из предложения IV.5.1
(и его двойственной версии) следует, что естественные функторы
D^-(X-qcoh^fl) \to D^-(X-qcoh) и D^+(X-lcth^lin) \to
D^+(X-lcth) являются эквивалентностями триангулированных
категорий. Это позволяет определить, для любого морфизма
f: Y \to X в квазикомпактную полуотделимую схему X, производные
функторы обратного образа Lf^*: D^-(X-qcoh) \to D^-(Y-qcoh) и
Rf^!: D^+(X-lcth) \to D^+(Y-lcth), применяя функторы
f^* и f^! к (соответственно ограниченным) комплексам плоских
пучков и локально инъективных копучков.
Согласно результатам раздела IV.7, естественные функторы
D(X-qcoh^fl)^fl \to D(X-qcoh) и D(X-lcth_\W^lin)^lin \to
D(X-lcth_\W) являются эквивалентностями триангулированных категорий
для любого открытого покрытия \W квазикомпактной полуотделимой
схемы X. Это позволяет определить, для любого морфизма f: Y \to X
в квазикомпактную полуотделимую схему X, производные функторы
обратного образа Lf^*: D(X-qcoh) \to D(Y-qcoh) и Rf^!: D(X-lcth_\W)
\to D(Y-lcth_\T), применяя функторы f^* и f^! к гомотопически
плоским комплексам плоских пучков и гомотопически локально
инъективным комплексам локально инъективных копучков. Здесь \T
обозначает любое покрытие Y, превращающее f в (\W,\T)-коаффинный
морфизм. (Разумеется, в случае квазикогерентных пучков эта
конструкция хорошо известна; мы обсуждаем здесь случаи пучков
и копучков вместе, чтобы подчеркнуть двойственность-аналогию
между ними.)
Легко видеть непосредственно из определений, что для любого
морфизма квазикомпактных полуотделимых схем f: Y \to X функтор
Lf^*: D^-(X-qcoh) \to D^-(Y-qcoh) сопряжен слева к функтору
Rf_*: D^-(Y-qcoh) \to D^-(X-qcoh) и функтор Rf^!: D^+(X-lcth) \to
D^+(Y-lcth) сопряжен справа к функтору LF_!: D^+(Y-lcth) \to
D^+(X-lcth). Из конструкции в теореме IV.7.1 нетрудно заключить
также, что функтор Lf^*: D(X-qcoh) \to D(Y-qcoh) сопряжен слева
к функтору Rf_*: D(Y-qcoh) \to D(X-qcoh). Чтобы показать, что
функтор Rf^!: D(X-lcth_\W) \to D(Y-lcth_\T) сопряжен справа
к функтору Lf_!: D(Y-lcth) \to D(X-lcth), можно воспользоваться
леммой IV.7.2. Таким образом, мы построили функтор
экстраординарного обратного образа комплексов квазикогерентных
пучков f^! для морфизма квазикомпактных полуотделимых схем f как
производный функтор Rf^! точного функтора f^!: X-lcth^lin \to
Y-lcth^lin между точными категориями локально инъективных локально
контрагерентных копучков (ср. Hartshorne [R&D]; Neeman [BB]).
IV.9. Конечная плоская и локально инъективная размерность
Морфизм схем f: Y \to X называется морфизмом конечной
плоской размерности, если существует такое неотрицательное целое D,
что для любых аффинных открытых подсхем U \sub X и V \sub Y, таких
что f(V) \sub U, O_X(U)-модуль O_Y(V) имеет плоскую размерность,
не превосходящую D. Морфизм f называется морфизмом конечной очень
плоской размерности, если выполнена аналогичная оценка для очень
плоских размерностей O_X(U)-модулей O_Y(V). Здесь очень плоская
размерность модуля над коммутативным кольцом определяется как
минимальная длина его очень плоской левой резольвенты; очень
плоская размерность модуля отличается не больше, чем на единицу,
от его проективной размерности.
Для любого морфизма конечной плоской размерности в квазикомпактную
полуотделимую схему f: Y \to X и любого символа * \ne ctr,
производный функтор Lf^*: D^*(X-qcoh) \to D^*(Y-qcoh) строится
следующим образом. Назовем квазикогерентный пучок F на X
приспособленным к f, если для любых аффинных открытых подсхем
U \sub X и V \sub Y, таких что f(V) \sub U,
Tor^{O(U)}_i(O(V),F(U)) = 0 для всех i > 0. Квазикогерентные пучки
на X, приспособленные к f, образуют полную подкатегорию
X-qcoh^{f-adj} \sub X-qcoh, замкнутую относительно расширений, ядер
сюръективных отображений и бесконечных прямых сумм, и такую, что
всякий квазикогерентный пучок на X имеет конечную левую резольвенту
из объектов X-qcoh^{f-adj}. Согласно теореме IV.5.2, отсюда
следует, что естественный функтор D^*(X-qcoh^{f-adj}) \to
D^*(X-qcoh) является эквивалентностью триангулированных категорий
для всех * \ne ctr.
Точный справа функтор f^*: X-qcoh \to Y-qcoh ограничивается до
точного функтора f^*: X-qcoh^{f-adj} \to Y-qcoh. Ввиду
эквивалентности триангулированных категорий выше, индуцированный
функтор на производный категориях f^*: D^*(X-qcoh^{f-adj}) \to
D^*(Y-qcoh) доставляет искомый производный функтор Lf^*. Для
любого морфизма конечной плоской размерности квазикомпактных
полуотделимых схем f: Y \to X, функтор Lf^* сопряжен слева
к функтору Rf_*: D^*(Y-qcoh) \to D^*(X-qcoh), построенному
в разделе IV.8.
Для любого морфизма конечной очень плоской размерности
в квазикомпактную полуотделимую схему f: Y \to X и любого символа
* \ne co, производный функтор Rf^!: D^*(X-lcth) \to D^*(Y-lcth)
строится следующим образом. Назовем \W-локально контрагерентный
копучок F на X приспособленным к f, если для любых аффинных
открытых подсхем U \sub X и V \sub Y, таких что U подчинена \W и
f(V) \sub U, Ext_{O(U)}^i(O(V),F(U)) = 0 для всех i > 0. Нетрудно
видеть, что свойство приспособленности F к f не меняется при
измельчении покрытия \W. Локально контрагерентные копучки на X,
приспособленные к f, образуют полную подкатегорию X-lcth^{f-adj}
\sub X-lcth, замкнутую относительно расширений, коядер допустимых
мономорфизмов и бесконечных произведений, и такую, что всякий
\W-локально контрагерентный копучок на X имеет конечную правую
резольвенту из объектов X-lcth^{f-adj} \cap X-lcth_\W =
X-lcth_\W^{f-adj}. Согласно двойственной версии теоремы IV.5.2,
отсюда следует, что естественный функтор D^*(X-lcth^{f-adj}) \to
D^*(X-lcth) является эквивалентностью триангулированных категорий
для всех * \ne co, как и аналогичные функторы
D^*(X-lcth_\W^{f-adj}) \to D^*(X-lcth_\W).
Конструкция точного функтора f^!: X-lcth^lin \to Y-lcth^lin,
изложенная в разделе III.2, продолжается без каких-либо изменений
на случай копучков из X-lcth^{f-adj}, определяя точный функтор
f^!: X-lcth^{f-adj} \to Y-lcth (переводящий \W-локально
контрагерентные копучки в \T-локально контрагерентные, если морфизм
f является (\W,\T)-коаффинным). Ввиду эквивалентности
триангулированных категорий выше, индуцированный функтор
на производных категориях f^!: D^*(X-lcth^{f-adj}) \to D^*(Y-lcth)
доставляет искомый производный функтор Rf^!.
Для любого морфизма конечной очень плоской размерности
квазикомпактных полуотделимых схем f: Y\to X, построенный таким
образом функтор Rf^! сопряжен справа к функтору Lf_!: D^*(Y-lcth)
\to D^*(X-lcth), построенному в разделе IV.8. Для плоского морфизма
в квазикомпактную полуотделимую схему f: Y \to X аналогичным образом
можно построить производный функтор Rf^!: D^*(X-lcth^lct) \to
D^*(Y-lcth^lct); для плоского морфизма квазикомпактных полуотделимых
схем f, этот функтор сопряжен справа к функтору
Lf_!: D^*(Y-lcth^lct) \to D^*(X-lcth^lct).
Квазикогерентный пучок F на схеме X называется пучком плоской
размерности, не превосходящей d, если плоская размерность
O(U)-модуля F(U) не превосходит d для любой аффинной открытой
подсхемы U \sub X. Когда любой квазикогерентный пучок на X
является факторпучком плоского квазикогерентного пучка (например,
если X квазикомпактна и полуотделима), пучок F имеет плоскую
размерность \le d тогда и только тогда, когда он имеет плоскую
левую резольвенту длины \le d. Очевидно, свойство иметь плоскую
размерность, не превосходящую d, является локальным для
квазикогерентного пучка. Квазикогерентные копучки конечной
плоской размерности образуют полную подкатегорию X-qcoh^ffd \sub
X-qcoh, замкнутую относительно расширений и ядер сюръекций;
полная подкатегория X-qcoh^ffd-d квазикогерентных копучков
плоской размерности, не превосходящей d, замкнута относительно
тех же операций, и кроме того, бесконечных прямых сумм.
\W-локально контрагерентный копучок P на схеме X называется
копучком локально инъективной размерности, не превосходящей d,
если инъективная размерность O(U)-модуля P(U) не превосходит d для
любой аффинной открытой подсхемы U \sub X, подчиненной \W. Когда
любой \W-локально контрагерентный копучок на X допускает допустимый
мономорфизм в локально инъективный \W-локально контрагерентный
копучок (напрмер, если X квазикомпактна и полуотделима), копучок P
имеет локально инъективную размерность \le d тогда и только тогда,
когда он имеет локально инъективную резольвенту длины \le d.
Свойство иметь локально контрагерентного пучка иметь локально
инъективную размерность, не превосходящую d, является локальным и,
в частности, не меняется при измельчении покрытия \W.
\W-локально контрагерентные копучки конечной локально инъективной
размерности образуют полную подкатегорию X-lcth_\W^flid \sub
X-lcth_\W, замкнутую относительно расширений и коядер допустимых
мономорфизмов; полная подкатегория X-lcth_\W^flid-d \W-локально
контрагерентных копучков локально инъективной размерности,
не превосходящей d, замкнута относительно тех же операций и, кроме
того, бесконечных произведений. Объединение точных категорий
X-lcth_\W^flid по измельчающимся покрытиям \W мы обозначим через
X-lcth^flid. Отметим, что функтор обратного образа при очень
плоском (\W,\T)-коаффинном морфизме f: Y \to X отображает
X-lcth_\W^flid в Y-lcth_\T^flid, а фунтор прямого образа при
(\W,\T)-аффинном морфизме f конечной плоской размерности
отображает Y-lcth_\T^flid в X-lcth_\W^flid. Поэтому так же,
как в разделе III.2, можно показать, что на квазикомпактной
полуотделимой схеме X всякий пучок из X-lcth_\W^flid имеет
конечную левую резольвенту копучками из X-ctrh^flid =
X-ctrh \cap X-lcth^flid. Ввиду предложения IV.5.2, отсюда следует,
что естественный функтор D^*(X-ctrh^flid) \to D^*(X-lcth_\W^flid)
является эквивалентностью категорий для всех * \ne co, а функтор
D^*(X-lcth_W^flid) \to D^*(X-lcth^flid) является эквивалентностью
категорий для всех * \ne co, ctr.
Согласно предложению IV.5.2, для любой квазикомпактной
полуотделимой схемы X и символа * \ne co, ctr, функтор
D^*(X-qcoh^fl) \to D^*(X-qcoh^ffd) является эквивалентностью
триангулированных категорий. Такой же эквивалентностью является
и функтор D^co(X-qcoh^fl) \to D^co(X-qcoh^ffd-d) для любого
неотрицательного целого d. Пользуясь этими эквивалентностями, для
любого морфизма в квазикомпактную полуотделимую схему f: Y \to X
можно построить производный функтор Lf^*: D^*(X-qcoh^ffd) \to
D^*(Y-qcoh^ffd), а также производный функтор
Lf^*: D^co(X-qcoh^ffd-d) \to D^co(X-qcoh^ffd-d) как функторы,
индуцированные точным функтором f^*: X-qcoh^fl \to Y-qcoh^fl.
Аналогично, для любой квазикомпактной полуотделимой схемы X и
символа * \ne co, ctr, функтор D^*(X-lcth^lin) \to D^*(X-lcth^flid)
является эквивалентностью категорий. Такой же эквивалентностью
является и функтор D^co(X-lcth_\W^lin) \to D^co(X-lcth_\W^flid-d)
для любого покрытия \W и неотрицательного целого d. Пользуясь
этими эквивалентностями, для любого морфизма в квазикомпактную
полуотделимую схему f: Y \to X можно построить производный функтор
Rf^!: D^*(X-lcth^flid) \to D^*(Y-lcth^flid), а также производный
функтор Rf^!: D^co(X-lcth_\W^flid-d) \to D^co(Y-lcth_\T^flid-d)
для покрытий \W и \T, превращающих f в (\W,\T)-коаффинный морфизм,
как функторы, индуцированные точным функтором f^!: X-lcth_\W^lin
\to Y-lcth_\T^lin.
Из леммы IV.1.6а) и рассуждений в разделе IV.6 ясно, что всякий
квазикогерентный пучок плоской размерности, не превосходящей d,
на квазикомпактной полуотделимой схеме Y допускает конечную правую
резольвенту, составленную из контраприспособленных квазикогерентных
пучков плоской размерности, не превосходящей d. Отсюда следует,
что функтор D^*(Y-qcoh^cta \cap Y-qcoh^ffd-d) \to D^*(Y-qcoh^ffd-d)
является эквивалентностью категорий для всех символов * \ne ctr.
Рассуждая так же, как в разделе IV.1, нетрудно показать, что всякий
квазикогерентный пучок из Y-qcoh^cta \cap Y-qcoh^ffd-d является
прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых образов
квазикогерентных пучков из V-qcoh^cta \cap V-qcoh^ffd-d с вложений
аффинных открытых подсхем V \sub Y. Отсюда видно, что функтор
прямого образа при морфизме конечной плоской размерности D
квазикомпактных полуотделимых схем f: Y \to X отображает
Y-qcoh^cta \cap Y-qcoh^ffd-d в X-qcoh^cta \cap X-qcoh^{ffd-d+D}.
Переходя к индуцированному функтору между производными категориями
и используя эквивалентность производных категорий выше, мы
получаем производный функтор Rf_*: D^*(Y-qcoh^ffd-d) \to
D^*(X-qcoh^{ffd-d+D}), сопряженный справа к функтору Lf^*,
построенному выше.
Из леммы IV.2.3а) и рассуждений в разделе IV.6 ясно, что всякий
\T-локально контрагерентный копучок локально инъективной
размерности, не превосходящей d, на квазикомпактной полуотделимой
схеме Y допускает конечную левую резольвенту в точной категории
Y-lcth_\T, составленную из колокально проективных контрагерентных
копучков локально инъективной размерности, не превосходящей d.
Отсюда следует, что функтор D^*(Y-ctrh^clp \cap Y-lcth_\T^flid-d)
\to D^*(Y-lcth_\T^flid-d) является эквивалентностью категорий для
всех символов * \ne co.
Рассуждая так же, как в разделе IV.2, нетрудно убедиться, что
всякий контрагерентный копучок из Y-ctrh^clp \cap Y-lcth^flid-d
является прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых
образов контрагерентных копучков из V-ctrh^clp \cap V-lcth^flid-d
с вложений аффинных открытых подсхем V \sub Y. Отсюда видно, что
функтор прямого образа при морфизме конечной плоской размерности D
квазикомпактных полуотделимых схем f: Y \to X отображает
Y-ctrh^clp \cap Y-lcth^flid-d в X-ctrh^clp \cap X-lcth^{flid-d+D}.
Переходя к индуцированному функтору между производными категориями
и используя эквивалентность производных категорий выше, мы
получаем производный функтор Lf_!: D^*(Y-lcth^flid-d) \to
D^*(X-lcth^flid-d+D). Здесь, как и выше, под D^ctr(Y-lcth^flid-d)
подразумевается прямой предел (эквивалентных) триангулированных
категорий D^ctr(Y-lcth_\W^flid-d) по измельчающимся покрытиям \W.
Полученный функтор Lf_! сопряжен слева к функтору Rf^!,
построенному выше.
